Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
i г j I
Так как, по предположению, левая часть (18.28) вещественна, то
(2 *&H2Mj) = °- (18-29)
г j
Конус будущего является выпуклым, поскольку если т}7-—времени-подоб-
ные векторы с т^о > 0, то вектор 2^jTb' также будет времени-по-
i
добным при всех ^>0, т. е. (2 >0- Так как векторы т]7- дей-
з
ствительно лежат внутри конуса будущего, то из соотношения (18.29)
следует, что вектор 2 Должен быть пространственно-подобным,
г
т. е. (2^Ы2 < 0. Отсюда
(2 iwe*)2 = (2?чнг)2 - (2 МО2 < о, (18.зо)
i г г
§ 1. Формулировка Уайтмана
689
т. е. векторы 2 ^iQi должны быть пространственно-подобными. По
i
поводу доказательства достаточности читатель отсылается к статье Йоста
[404]. Мы будем называть действительные точки расширенной трубы «точками
Йоста». Можно далее показать, что каждая точка Йоста имеет действительную
окрестность в расширенной трубе и что эта окрестность образует
действительное окружение в {п — 1)-мсрном пространстве комплексных 4-
векторов. Это значит, что если имеются две аналитичные в расширенной
трубе функции ft (?ь . . . ?n_j) и /2 (Ci, • ?. ?n-i), которые совпадают
в некоторой действительной окрестности расширенной трубы, т. е.
fUl'v ••• = h (i;, Ха-,) (18.31a)
в точках ... S'_, внутри действительной окрестности точки Йоста, тогда
h(X, ... ln-i) = h{X, ... S„-i) (18.316)
во всех точках ?1; ... внутри расширенной трубы (см. книгу Бох-пера и
Мартина [63, стр. 34] J)). В частности, переходя к граничным значениям,
получаем
/i(Hi, ..., L-i) = /2(fei, ... ln-д (18.31b)
при всех действительных точках ... \п—\.
Теперь становится понятным важное значение определения действительных
точек расширенной трубы (точек Йоста). При отыскании этих точек
выясняется, что существует целая область точек q1; ... g„_!
(где Qj, ... q„_i пространственно-подобны), которая лежит
внутри
расширенной трубы, но на границе трубы будущего. Следовательно, функция
Уайтмана W(n> (хи ... хп) при х{ — х2 = Qi, ... xn-t — хп = Q„-t является
аналитической функцией от дь ... т. е. разложимой по
этим переменным в сходящийся степенной ряд. Согласно сказанному выше, это
в свою очередь означает, что если среднее по вакууму известно в
окрестности точки Йоста (т. е. когда аргументы разделены пространственно-
подобным интервалом), то оно однозначно определено при всех значениях
своих аргументов. Поскольку при п = 1, 2, 3, 4 совокупности
действительных точек дь ... д„_! с gi0 = O, т. е. совокупности
одновременных точек, образуют действительные окружения в расширенной
трубе, то в этих случаях справедлив более сильный результат: если функции
Wa\ РБ<2), Ww и РБ(4> известны в области, в которой все аргументы имеют
одну и ту же фиксированную временную компоненту, то этим функции Wa), Wn\
W(3) и Wl4> определены везде.
Холл и Уайтман [355] доказали далее следующую важную теорему:
Теорема. Функция / от п 4-вскторных переменных ... анали-тичная в трубе
будущего, определяемой согласно
lj==lj — ii];-, — со < Re^-ц < + со, ц = 0, 1, 2, 3,
(1шУ2>0, (Im ?;0) < 0, и инвариантная относительно ортохронной группы
Лоренца
/(Si, ... ?„) = /№ ... АХп)
!) В русском издании стр. 51. — Прим. ред. 44 с. Швебер
690
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
является функцией скалярных произведений Она анали-
тична на многообразии ЭД1П, которое пробегают скалярные произведения,
когда векторы ... пробегают все значения в трубе будущего.
Теорема Холла и Уайтмана показывает, что как следствие основных свойств
инвариантности, выражаемых соотношением (18.27), аналитическая функция
4/г-комплексных переменных PT<n+1> (?ь ... 'Qn)
может быть представлена как функция скалярных произведений
W^(lu ... и = W™ (gf, ... а, ...)• (18.32)
Эта функция аналитична в области Ш(п значений скалярных произведений
Область 9ЛП есть отображение трубы будущего Т'п. Обра-
щает на себя внимание уменьшение числа переменных. Так, при п — 2 функция
РТ<2) (?) является аналитической функцией одной комплексной переменной z
= ?2 вместо четырех; при п — 3 функция Wi3> выражается как аналитическая
функция трех комплексных переменных вместо восьми. Не говоря уже об
очевидных упрощениях, при такой записи в явном виде проявляются свойства
инвариантности функций WW) н становится возможным компактное выражение
следствий локальной коммутативности поля ф. Однако не все скалярные
произведения независимы. Поэтому иногда- бывает удобнее работать не со
скалярными произведениями, а с переменными • ?п-
Приведенных теорем достаточно, чтобы дать простое доказательство СРУ-
теоремы Паули, Людерса и Швингера, принадлежащее Посту [404]. В теореме
СРТ утверждается примерно следующее. В локальной теории поля,
инвариантной относительно собственных преобразований Лоренца, существует
антиунитарный оператор V = CPT и возможен такой выбор фазового множителя
ц в законе преобразования
Уц> (х) F-1 = цф* ( — х), |т]|2 = 1, (18.33)
что теория будет инвариантной относительно этого преобразования. При
помощи средних по вакууму теорема СРТ выражается равенством1)
