Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 298

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 292 293 294 295 296 297 < 298 > 299 300 301 302 303 304 .. 373 >> Следующая

(То, .ф! (ад) ... ф„ (хп) 4%) = (?0, ФИ-^) ••• фп(-а:п)^о) =
= (?0, фп (- хп) ... ф1(-з:1)^о). (18.34)
Теперь мы покажем, что соотношение (18.34) фактически является следствием
локальности теории, приведенных выше спектральных условий, а также
инвариантности теории относительно собственных орто-хронных неоднородных
преобразований Лоренца. Обозначим через W<p 1 • ? ? фл (хи . .. хп)
среднее по вакууму от произведения ф( (ад) . .. ф„ (хп)
Wvi ? ? ? ч>п (xi, ... хп) = (То, ф^зд) ... Ф„ (zn) ?0). (18.35)
Тогда вследствие трансляционной инвариантности функция р]/Ф1 ... ф„
зависит только от разностей переменных ад, ... хп, т. е. Wvi • ? • фп=
Wтт • • - (|ь . .. а на основании спектральных условий
функция W4i ? ? ? (?ь ... ?„~i) является граничным значением
аналитиче-
скойфункции W'f 1 • • • Фп (?t, ... ^n_t), аналитичной, когда векторы =
—it]j
!) Отметим, что мы здею, не ограничиваемся случаем только одного поля и
не предполагаем эрмптовости полей. Однако для простоты мы рассматриваем
только скалярные поля. Обобщение на спипорпые поля осуществляется
непосредственно (см. работу Йоста [404]).
§ 1. Формулировка Уайтмана
691
лежат в трубе будущего (т. е. когда —со < со, а векторы т)^
лежат внутри конуса будущего). Кроме того, в силу лоренц-инвариант-ности
Wч> (С) имеет единое аналитическое продолжение на расширенную трубу (т..
е. на множество точек ... C„-i, таких, что ?г = А?ц где лежат в трубе
будущего, а Л — элемент комплексной группы Лоренца с detA = +1).
Пусть теперь точка рь • • • 6«-‘ будет точкой Йоста (т. е. действительной
точкой в расширенной трубе). Из теоремы Холла и Уайтмана, а именно из
того, что функция ручч ? ? • Фл = PF<pi ? • ? фл (?,, ___ Z,n-C) является
функцией скалярных произведений и притом аналитиче-
ской функцией на комплексном многообразии, которое пробегают скалярные
произведения, когда векторы ... пробегают расширен-
ную трубу, следует
ТКФ1 Фл(?ь ... ?„_,) = И'’*1 ??•*»(-?i, ... _?п_0, (18.36а)
и отсюда1)
тиф1---ф'г(е1,... Qn,-i) = и7ф1"'ф'1(-еь ... - e,i-0- (18.366)
Из условия эрмитовости
(?0, ф! (xt). .. ф„ (хп) У0) = (ф! (Xl) • . • фп (Хп) ?о, Уо) =
= (Уо,фп(^)...ф^1)Уо) (18.37)
вытекает
W*1-= ^Фл'"Ф1(-|„-1, ... -li) (18.38)
при всех действительных |t, ... |„-i. В частности, это соотношение
справедливо в действительной окрестности расширенной трубы. Поэтому во
всей расширенной трубе справедливо соотношение
... = ... -СО- (18.39)
Соотношение (18.39) позволяет переписать формулу (18.366) в форме
Игф1-фп(д1, ... ел-1) = ^"-ф1*(вл-1, ... Qi)- (18.40)
Сравним этот результат с записью теоремы СРТ в виде (18.34). Соотношение
(18.34) при помощи функций Уайтмана записывается в виде
ТУФ1- • -Фп (Ь,... ?„_о = W**- • -ф1( + i„-lt... +10 = wФ1 • • • ф» (-
1.,. ..-!„_!) при всех действительных ... |n-i- (18.41)
Если в (18.41) точки х15 ... хп выбраны так, что xh — xh+l — Qh, то
сравнение с (18.40) дает необходимое условие для справедливости теоремы
СРТ:
^•??фл(е 1,... en-i) = w7<Pn---<ti(-e„-i,... -е0, (18.42)
!) К этому же заключению можно прийти и на основании того, что
преобразование Л=—1 является элементом комплексной группы Лоренца с
delA=-f-l; поэтому соотношение (18.36) можно вывести из лоренц-
нпварнантностй функций Уайтмана: в формуле (18.27) положим Л= —1 и
заметим, что множество действительных точек, для которых комплексное
преобразование Лоренца .можно выбрать так, чтобы Лр= —р, как раз и есть
множество точек Поста.
44*
692
Гл. ]S. Аксиоматическая формулировка
или, что то же,
(?0, ф! (дц). . . ф„ (ж„) ?№) = (?0, ф„ (ж„).. . ф! (xt) ?0) (18.43)
во всех точках жь ... хп, для которых ... находятся в расширенной трубе.
О совокупности полей, удовлетворяющих условию (18.43) при значениях ж4,
... хп, совместимых с условиями
П—1 71—1
<°7 zL: ^г = 1, и> 0 {li=-Xi-xi+l),
г г=\
говорят, что эти поля слабо локальны друг относительно друга. Отметим,
что совокупность полей, локальных друг относительно друга, т. е. таких,
которые коммутируют при пространственно-подобном разделении, [ф; (ж),
фг(ж'))=0 при (ж — ж')2 < 0, заведомо удовлетворяет условиям слабой
локальности их друг относительно друга. В самом деле, из локальности
следует, что
^) =
= ^/ф1- ' • фЛНф.7 ? • - фП _ х.+ и Х]^ _ _ при (х. _ Xj+t)* < 0.
(18.44)
О совокупности операторов поля (ф4, . . . ф„) говорят, что они обладают
свойством слабой локальной коммутативности (CJIK) на множестве
действительных точек (|', ... %'n-i), если равенство
(?0, Ф1(ж0.. .ф„(жп)?о) = (?0, фп(ж„). . -Ф^жО^о), (18.45а)
или, что то же, равенство
^•••фл(|1, ... !„_!) = В7фл---ф1(-|71-1, ...-Ы (18.456)
справедливо при всех xt, . . .ж„, таких, ’что разности ...
(?j = Xj — Xj+i) лежат в некоторой действительной окрестности точки
?i> •
Иост показал, что верна также и обратная теорема, т. е. если совокупность
полей в окрестности некоторой действительной точки расширенной трубы (в
окрестности точки Иоста) обладает свойством CJ1K, тогда справедлива
Предыдущая << 1 .. 292 293 294 295 296 297 < 298 > 299 300 301 302 303 304 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed