Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
теорема СРТ и CJIK [соотношение (18.456)] имеет место во всех
действительных точках расширенной трубы.
Доказательство: Условие CJIK в точке ?l5 ... можно записать в виде
(?0, ф! (ж4). . . ф„ (ж„) ?0) = (?0, фп (хп). .. ф! (ж4) ?0) =
= (?0, ф* (ж4). . .ф* (жп) ?0), (18.46а).
или, что то же, при помощи функций Уайтмана
? • .|n-i) = W<Pl- -(Pn(s1, (18.466)
По предположению, соотношение (18.466) справедливо в действительной
окрестности точки Поста. С помощью (18.466) и (18.36а) иолучаем
И7ф1-"ф"(?1, ... ?п-1) = И,ф1’--фв(-?1. -s»-i) (18.47)
§ 1. Формулировка Уайтмана
693
для точек (?lt ... ?„_i), лежащих в действительной окрестности точки
Йоста (qi, .. . Qn-i). Очевидно, что в силу релятивистской инвариантности
и спектральных условий функция Уайтмана
... !„-,) = (То, ф1*(х1)...ф,*1(хп)У0) (18.48)
обладает теми же аналитическими свойствами, что и функция И/Тф1" •<Pfl
(|ь ... |n-i)- Таким образом, соотношение (18.47) имеет аналитическое
продолжение на расширенную трубу, поскольку если точка (?i> • ? • ?n-i)
лежит в трубе будущего, тогда это же верно и для точки ( — ?i, ... — Sn-
i)- Следовательно, соотношение (18.47) переходит в соотношение,
связывающее функции pp4*1 • • ? ф« и рр/Щ-• Фп в0 всей расширенной трубе.
Так как труба будущего является только частью расширенной трубы, то
соотношение (18.47) справедливо и в трубе будущего. В частности, в точках
границы трубы будущего справедливо соотношение
W9*- ? 'ф* (&„ . . . Еп„1) = 1Сф1"-ф"(-ё1, ... —la-i), (18.49)
или, что то же,
(^ГфГТ- Xl). .. ф* (- хп) То) = (То, ф! (X,). . .ф„ (*„) Wo). (18.50)
А это соотношение и является выражением теоремы СРТ с помощью средних по
вакууму. Что и требовалось доказать.
Дайсон [203] доказал приведенное ниже следствие теоремы СРТ. Если
справедлива теорема СРТ, то функция Уайтмана будет аналитич-ной и
однозначной на действительном множестве пространственно-временных точек
тогда и только тогда, когда поле обладает свойством слабой локальной
коммутативности па этом множестве точек.
Это указывает на связь между требованием локальной коммутативности и
требованием аналитичности в некоторой области. В действительности, как
показали Штейнман и Йост [740], локальная коммутативность при всех
пространственно-подобных разделениях следует из локальной коммутативности
в окрестности какой-либо точки йоста. В частности, в случае функций Wt2),
W&) и Ww требование, чтобы [ф(?), ф (?/)]= 0 при х0 — у0 в некоторой
окрестности трехмерного пространства, является достаточным, чтобы
локальная коммутативность осуществлялась при всех пространственно-
подобных разделениях.
Прежде чем переходить к дальнейшему изложению формулировки Уайтмана,
проиллюстрируем, все сказанное выше на примере двухточечной функции
Уайтмана WAB в случае двух скалярных полей А(х) и В(х). Дальнейший анализ
представляет собой незначительное обобщение анализа Лемана, изложенного в
гл. 17. Интересующее нас среднее по вакууму имеет вид
WAB (x-y) = (W0\A(x)B(y)\W0), (18.51)
где записью WAB (х, у) = WAB (х — у) отражена трансляционная
инвариантность теории. Лоренц-инварпантность означает далее, что
694
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Фурье-образ WAB (р) функции WAB (?) определяется
' WAB{l) = Yi W -1(0)| рсх) (ра\ Я(0)| То) е-‘р-(*-»> =
\уа)
= J <1*ре-1Р (х-утАВ (р), (18.53а)
WAB (p) = 'E(W0\A (0) I ра) (ра \ В (0) | W0). (18.536)
а
при фиксированном р
На основании обычных соображений об отсутствии состояний с отрицательной
энергией и пространственно-подобными импульсами заключаем, что фурье-
образ обладает свойством WAB (р) — 0 вне области с Ро > 0 и р2 > 0. При
преобразованиях Лоренца
WAB (р) = WAB (Ар) (18.54)
и, следовательно, WAB является функцией только р2. Функция Уайтмана WAi J
(?) является граничным значением аналитической функции WAB (?)
WAU(l)= ^ WAB(p), g = ?— irj, (18.55)
где г) — времени-подобный вектор, лежащий внутри светового конуса
будущего. В силу лоренц-инвариантности WAB (?) = WAB (At,), и,
следовательно, функция WAB (?) фактически является граничным значением
аналитической функции WAB (z), регулярной при всех комплексных значениях
z, которые могут быть записаны в виде
z = (l — ir])2, (18.56).
где % >0, ц2 > 0. В этом состоит содержание теоремы Холла и Уайтмана для
случая инвариантной функции одной переменной. Поскольку z = — 2гц-Е
— ц2 и, следовательно,
В.ег = ?2-ц2, (18.57а)
Imz= — • г), (18.576)
то каждая точка плоскости z, не лежащая на положительной действительной
полуоси, представима в виде (18.56). Таким образом, когда вектор \
пробегает все значения в пространстве-времени, а вектор ц лежит внутри
светового конуса будущего, точка z принимает все значения на комплексной
плоскости z, за исключением положительной действительной полуоси и начала
координат. Случай ц —?> 0 иллюстрируется на фиг. 145, где указаны также
значения z для характерных положений вектора ?. Таким образом, функция
Уайтмана WAD (z) будет аналитичной в плоскости с разрезом, идущим вдоль
