Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 300

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 294 295 296 297 298 299 < 300 > 301 302 303 304 305 306 .. 373 >> Следующая

положительной действительной полуоси от точки z = 0 до оо.
Очевидно, что среднее по вакууму
WBA (х’ - х) = (W0 [ В (х’) А (х) | W0) (18.58)
аналогичным образом определяет аналитическую функцию WBA(z),
§ 1. Формулировка Уайтмана
695
которая снова регулярна во всех точках вида
z — ( — ?— ip)2 (т) внутри конуса будущего), (18.59а)
1 = х — х'. (18.596)
Поскольку формулы (18.59) и (18.56) определяют одно и то
же множество, то функции WBA (г) и WAB (г) имеют одну
и ту же область
? на световом конусе г' ; внутри светового конуса прошлого
J ? пространственно--подобные внутри светового конуса будущего
Комплексная плоскость
Z = (?-i77)2
в пределе tj-^O
Фиг. 145.
аналитичности. Если теория локальна, т. е. [А (х), В (ж')] = 0 при (х —
ж')2 < 0, тогда
(То \А (х) В (ж') | То) = <?0 \В (х') А (ж) | То) при (ж-ж')2<0
(18.60)
и, следовательно, WAB (z) = WBA (z), когда z лежит на отрицательной
действительной полуоси. А так как обе функции WAB (z) и WBA (z) являются
аналитическими, то WAB (z) — WBA (z) во всех точках области их
аналитичности, т. е.
WAB (z) « WBA (z) в плоскости с разрезом. (18.61)
В применении к частному случаю А (ж) = ф (ж) и В (ж) = ф* (ж) сделанных
выводов достаточно для доказательства того, что для скалярного поля (поля
со спином 0) исключена возможность неправильной связи спина со
статистикой, при которой [ф(ж), ф*(ж')]+ = 0, если точки разделены
пространственно-подобным интервалом (см. работы Буржойона [93] и Людерса
и Зумино [519]). Предположим, что мы приняли эти «неправильные»
перестановочные соотношения. Тогда вместо (18.60) мы получили бы
соотношение
»Рфф*(Б) + РРф*ф(-?) = 0 при |2<0
(18.62а)
696
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
и, следовательно, с учетом аналитичности,
1ЕФФ* (z) = - W9*v (z) (18.626)
во всей области аналитичности. Рассмотрим теперь векторы ф(/)!гР0) и
Ф*(?)1%>. Сумма норм этих векторов равна
!1ф(/)% ||2 + |1ф*(?) %1|2-
= 5 d*x 5 diy ^^ ^ф ^ ^°’ ф ^ ^ ^ + g ^ ^ф*^ ?°’ф*^ g
= ? d4:r ^ d±y{]{x) И/ф*ф (x-y)f {у) + g (- х) 1ЕФФ* (y-x)g( — у)}.
(18.63)
Выбирая f(x) = g( — x) и учитывая, что при неправильной связи спина со
статистикой И/фф (|) + И7ФФ( —1) = 0 при всех получаем из (18.63), что1)
ф(/)|фго) = ф*(/)|?о) = 0 ПРИ всех/. (18.64)
Следовательно, все средние по вакууму от произведении ф и ф* равны нулю,
а тогда, согласно Уайтмаиу, само поле тождественно равно нулю. Таким
образом, возможна только правильная связь спина со статистикой.
Доказательство для полей более высоких спинов (целых или полуцелых)
проводится аналогичным образом [93]. Отметим, что это доказательство
связи спина со статистикой не опирается на какой-либо частный вид
уравнений движения для поля ф, в противоположность доказательству Паули
[627, 628], которое существенным образом опиралось на линейность
уравнений поля. Следует также отметить, что в приведенном выше
доказательстве, основанном на аксиоматической формулировке теории поля,
использовались только линейные соотношения для функций Уайтмана.
Вернемся к нашему обсуждению функций Уайтмана WAB (I) и WBA (|). Если
поля локальные, то из (18.61) следует
WAB (р) = WBA (р). (18.65)
Среднее по вакууму от коммутатора дается выражением
(Ф'о! [А (х),В (х')\ | ?0> = lim {WAB ((х — я' — гц)2) — WBA {{х — х -f
й\)2)}.
т)-*-0
(18.66)
Запись фурье-образа функции WAB (?) в виде
WAB (р) = еАВ (Р2) 9 (Р) (18.67)
явным образом учитывает трансформационные свойства фурье-образа при
преобразованиях Лоренца и то, что он обращается в нуль при р0 < 0. Отсюда
среднее по вакууму от коммутатора операторов А (х)
!) Отметим, что к этому заключению можно прийти только в случае
положительной определенности нормы в пространстве векторов физических
состояний, т. е. если состояния представляются векторами в гильбертовом
пространстве, снабженном эрмитовым скалярным произведением.
§ 1. Формулировка Уайтмана
697
и В (х') имеет следующее представление: (
(?01 [А (х), В (я')] j ?0> = ^ d*pQAB (р2) е (р) e~ip•?,
% = х — х'. (18.68)
Из (18.68) легко получить представление для среднего по вакууму
от запаздывающего произведения
R(A(x)B(x')) = -iQ(x — x')[A(x), В(х')]. (18.69)
Для этого нужно воспользоваться интегральным представлением для
функции 0
+ СО
\ -^WdX- (18‘7°)
— СО
Среднее по вакууму от запаздывающего произведения операторов А (х) и В
(х') обозначим гАВ (х; х')\
ГАВ
{х- x') = (4,\R(A(x) В (х'))\Чй). (18.71)
Так как, по предположению, А (х) и В (х') коммутируют, когда точки
разделены пространственно-подобным интервалом, то запаздывающее
произведение R (А (х) В (х')) равно нулю, когда вектор х —
х' находится
вне светового конуса будущего. В связи с этим при ортохронных
преобразованиях Лоренца запаздывающее произведение преобразуется по
закону
U (a, A) R (А (х) В (х’)) U~l (а, Л) =
= — 10 (Л (х — х')) [А (Ах + а), В (Ах' а)] =
= R (А (Ах -(- а) В (Ах А- а)), (18.72)
поскольку при таких преобразованиях времени-подобный вектор остается
времени-подобным, а знак его временной компоненты есть инвариант. Для
Предыдущая << 1 .. 294 295 296 297 298 299 < 300 > 301 302 303 304 305 306 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed