Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 290

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 284 285 286 287 288 289 < 290 > 291 292 293 294 295 296 .. 373 >> Следующая

= ('Го 1Т (ф (ад 4- а) ф (х2 + а)) | р, а) eip-a =
= е*р’аХРа(ад-[-а, x2-fa). (17.322)
Равенство (17.322) справедливо при любых пространственно-временных
сдвигах и, в частности, при а= — X, где
яцад-[-m2x2
— mlJrm2 ’
§ 6. Проблема связанных состояний
675
X —координата центра масс. При таком выборе а функцию %ра (хг, х2) можно
записать в виде
%pa(xi, x2) = e-iP-xfpa(xl — x2). (17.323)
Здесь зависимость %ра (xi, х2) от координаты центра масс (е-Ч>х) и
зависимость от относительной координаты xt — х2 (fpa(xi — x2)) разделены.
Отметим, что при изменении р меняется и /ра (яi — x2).
Если рассматриваемая система полей допускает существование двух-
фермионного (может быть, вырожденного) связанного состояния | р, Ь)
с массой Mjy, тогда, выделив в равенстве (17.319) вклад от
этих состо-
яний, функцию распространения при Х0>Уо можно представить в виде
К+(х!, х2; уи ?/2)=2 Ц d^e-^-^b (р2 — Ml) 0 (р0) fpb (х) fpb (у) +
ъ
+ 25 ^Р%Ра(х 1, x2)xla(yi, у2). (17.324)
афь
Суммирование по Ъ в первом члене идет по всем вырожденным состо<-яниям с
массой Мь. Равенство (17.324) при Х0>У0 позволяет написать,1
К'+(х 1, х2; уи у2) =
оо
= у 5 d3pelp-(x-Y) ^ ^?о_ e_ipo(х0—Уо)§ (угц~у р2 -j- М% ) X 'о
X 2 fpb(x) fpb (у) + Члены, регулярные при р0 = ]/ р2 + М% . (17,325)
ь ^ . ,
Отметим, что хотя fpь (х) и изменяется, когда р принимает различные
значения, при которых р2 — Мь, все же если функция /рЬ известна при одном
значении р, то ее можно получить и для любых других значений р из
соображений лоренц-ковариантности теории. Поэтому обычно удобно выбирать
для представления состояний амплитуду fpb при р = 0. Тогда состояния в
случае вырождения можно классифицировать по собственным значениям
оператора момента количества движения. Отметим также, что при
фиксированных относительных координатах состояние [р, Ь) не дает вклада в
К'+(хи х2; уи у2) при У0>Х0, так как матричный элемент (Ч^ [ Т (ф (х{) ф
(х2)) | р, Ь) равен нулю в силу законов сохранения (например, из-за
сохранения заряда или числа барионов). Следовательно, зависимость функции
распространения от X—Y (при произвольных Х0, У о) можно выразить формулой
.K+(X-Y; х, *) = 2 \ d'pe-W-r) : +
h J Ро— KPai-(^b— ге)2
-(-Члены, регулярные при Ро = V Р2 + М% . (17.326)
Подставим теперь выражение (17.326) для К+ в уравнение (17.316)'. Но
прежде заметим, что уравнение (17.316), которое сокращенно можно
представить как К'+ = К0 + K0GK'+, в силу трансляционной инвариантности
теории записывается в виде
^ dipe-iP (x~Y')K'+ (р; х, у) —
= \ dipe~iP<’X~Y'> {Х0 (р\ х, у) + (K0GK+) (р; х, у)}. (17.327)
43*
676
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Интегрирование по dip можно опустить. Если получившееся выражение
умножить на р0 — Ур2 + М? и перейти к пределу при р0—> (/ р2 -1 - Ml , то
неоднородный член К0 (р; х, у) и части функции распространения, не
имеющие особенности при /?0= )/р2 + Л7 j) , выпадают, так что Xpb(xt, х2)
удовлетворяет уравнению
Хръ (xi, х2)= — i jj dixb ^ d*x6 jj dix7 ^ dix8 х
X К'+ (xt - хъ) К+ (х2 — хв) G (х5, х6; х7, х8) %рЪ (х7, х8). (17.328)
Именно это уравнение получили Солпитер и Бете, использовав несколько
более интуитивные аргументы, основанные на адиабатическом включении
взаимодействия. В случае задачи рассеяния левая часть (17.328) заменяется
на %pa(xi, х2) — ц>ра(х1, х2), где фра — произведение двух дираковских
волновых функций для свободных частиц. Функцию фра можно рассматривать
как падающую плоскую волну.
Можно получить дифференциальное уравнение, применимое и к рассеянию, и к
рассмотрению свойств связанных состояний. Для этого вспомним, что К+= —
1/2S'F удовлетворяет уравнению
— ~S’F(x — x')= —^SF(x—x') +
+ \diy \ dYysF(х~у)^(у~у')i;S'F(у ~х')- (17-329)
Подействовав оператором Дирака на (17.329), получаем
(— iy^ + т) Sp (х — х') = 2i6<4) (х — х') + ^ Л/2* (х — у) у SF (у — х').
(17.330)
Применим теперь к уравнению (17.328) дифференциальные операторы
— iVn^,i + wl для каждой из частиц. Тогда имеем
С - ir“ ?> + "••)( - iTb“ л» + “0 *>“(1ь Is)=
= — ^ dix7 ^ dix8G{xu x2; x7, xs)xPa(x7, x8) —
— i ^ dix5 ^ dix6 jj dix7 d*x8 ^ d^y ^ diy' X
X [2*(a:1-?/) у Sp (у-хъ)^а [ 2* (x2 - у') у S’F (yr - x6) ]&x
xG(x5, x6; x7, x8)xpa{x7, xs). (17.331)
Если опустить части собственной энергии фермиона, то уравнение (17.331)
принимает особенно простой вид, так как последний член в правой части
исчезает. Если к тому же ограничиться взаимодействием в низшем порядке,
т. е. лестничным приближением, то амплитуда Хра будет удовлетворять
уравнению
(— iy. di + т)а (— iy ? д2 + т)ь %рЛ (хг, х2) =
= —ie2ya^DP{xl — х2) у^Хра (хи х2). (17.332)
Достигнутый существенный прогресс заключается в том, что уравнение
(17.328) есть полностью релятивистское волновое уравнение для
§ 6. Проблема связанных состояний
677
системы двух частиц. Кроме того, это уравнение позволяет применить к
вычислению энергии связи связанного состояния метод диаграмм Фейнмана и
Дайсона и их рецепты перенормировки. Однако это достигнуто некоторой
Предыдущая << 1 .. 284 285 286 287 288 289 < 290 > 291 292 293 294 295 296 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed