Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
I иг\ (0, со) | Фе) _ лоч\
1 ' (Ф«, Ue(0, — оо)Фр ’ (Ч.бУй)
амплитуду /(я) можно выразить через переменные в картине Фарри: f (я) =
(Ф*1 и«* (0, оо) Vе (г, 0)“V (я) ие (t, 0) ие (0, - оо) | Фе)с =
= (Ф0е|7’(^фе(я))|Ф)с, (17.294а)
Se = Ue( + oo, -оо). (17.2946)
Рассмотрим, в частности, случай
|Фе> = |Фп)= ^ <7ац(я)феу^фп(я)[Ф^, (17.295)
а
где пространственно-подобную поверхность о в силу того, что она
произвольная, возьмем при t — — со. При таком выборе о равенство (17.294)
можно записать в виде
1п (х) = ^ (Фо, Т (?ефе (я) фе (я')) Ф„) п (х) доц (я'), (17.296а)
Se = ue(ОО, -оо) (17.2966)
или
где
/п (я) = я') у*1фп(я')^о|1(я'), (17.297)
S% (я, я') = (Фе0, Т (?ефе (я) ? (я')) Ф‘) (17.298)
есть фейнмановская функция распространения частиц во внешнем поле с
учетом всех радиационных поправок. Она является функцией х, х'
668
Гл. 17. Гейзенберговская картина
и Xq — х0 и удовлетворяет интегральному уравнению x')^-~SeF(x, х') +
+ 5 —TSf(x’ х")2*е(х", Xя) =±S%(xm, х')<Рхя<Рх\ (17.299) причем Sp
определяется выражением
~^SeF(x, х) = (OJ, Т (фе (х) фе (х')) Ф„). (17.300)
Собственные диаграммы собственной энергии, дающие вклад в 2*, те же, что
и диаграммы, дающие вклад в 2* (например, диаграмма
на фиг. 139). Однако 2* содержит еще целый ряд дополнительных диаграмм,
возникающих от поляризации вакуума внешним полем. Такая диаграмма низшего
порядка показана на фиг. 140. Вспомним, что после перенормировки эта
диаграмма дает член
x')~-j?^-bw(x-x')rnAb{x). (17.301)
Если подставить Sep из уравнения (17.299) в (17.297), то получается
следующее интегральное уравнение для fn(x):
fn (х) = ф п (я)+ § d4x' ^ dAx”^- SeF (х, х") 2* (х", х) /д (х').
(17.302)
С другой стороны, поскольку фп(х) удовлетворяет уравнению Дирака с
внешним полем Ае (х), a SeF{x, х) подчиняется уравнению
(*Y+ еу^Ае^ {х)— m) SeF{x, х') = 2i6<4) (х — х'), (17.303)
находим, что fn (х) удовлетворяет уравнению
(гЧи д» + еу^А^ (х) — m) fn (ж) 4- ^ d*x'2* (х, х') fn (х) — 0.
(17.304)
Это уравнение для амплитуды / (х) впервые было выведено Швинге-ром [715].
Оно является обобщением уравнения Дирака, включающим радиационные
поправки. Как выше упоминалось, уравнение (17.304) будет иметь решения
вида
/ (х) = e~iExng (х) (17.305)
§ 6. Проблема связанных состояний
669
только для низших состояний. Для других состояний будут существовать
приближенные решения вида
(17.306)
где 1 /Г — время жизни рассматриваемого состояния1).
Когда внешнего поля нет, одночастичные состояния описываются с помощью
амплитуд f(x), f(x, хр, ух), ... следующим образом. Обозначим через 14V)
одночастичный гейзенберговский вектор состояния, который является
собственным вектором оператора Рр с собственным значением р^, причем
р11р^ = т2. Тогда одночастичная амплитуда j (х) определяется равенством
/ (ж) = (ЧГо, Ч> (*)?„.), (17.307)
где г|з (х) — гейзенберговский оператор поля, удовлетворяющий уравнению
(17.1). Выражая правую ,часть равенства (17.307) через операторы в
представлении взаимодействия, имеем
/(х) = (Фо, U (со, 0) С/'1 (t, 0) г)з (х) U (t, 0) U (0, _с»)ФРз)с,
(17.308)
причем
I ^ps) = U (0, -оо)]ФРз)с (17.309)
И
|Фр8) = &* (р) I Ф0> = j) йа^(тг):ф(т;)у(Ацу5(р)е-1Р-;с[Фо). (17.310)
Поэтому можно написать
/ И = ^ (Фо, Т (-Sip (х) $ {х')) Ф0) yVw (х') daр (х) =
= ^ dav,{x')=^S'F (х — x')y»-w(x'), (17.311)
где —^ S'f (х — х') — перенормированная функция распространения
(прежде мы обозначали ее через S'Ft), которая удовлетворяет интегральному
уравнению
1 , 1
— ~^SF(x — x')= —-^-SF(x — x') +
+ ^ d^'^SF(x-x")H*(x"-x'")=^SF(x'"-x'). (17.312)
В уравнении (17.312) 2* является суммой вкладов от всех собственных
диаграмм собственной энергии. Подставляя S'F из этого уравнения
в (17.311), находим, что j (х) удовлетворяет интегральному
уравнению
/ (х) — wp (х) — dix’1j*(x —х') f (х’), (17.313)
которое включает граничное условие, требующее, чтобы функция / (х')
описывала частицу с импульсом р(i, так как неоднородный член'равен
иУр(;г). В действительности, если итерировать полученное выше уравнение,
то, поскольку \ dix' 2*(;г—- х') wv (х') — 0, имеем / (х) = wv (х).
!) Относительно способа решения уравнений (17.299) и (17.3041 см. работу
Jloy [510], а также работу Миллса и Кролла [553].
Хз
хг
хг х>
Фиг. 141.
$ 6. Проблема связанных состояний
671
Приведенные выше примеры показывают, что для определения свойств
одночастичных состояний достаточно изучить фейнмановские функции
распространения К'А+= — V2 Sp или К'+= —1/2S'p. Чтобы обобщить такое
рассмотрение на двухчастичные системы, определим функцию распространения
для двухчастичной системы
*•-<2>' „ . „ „ х _ (Ф0, Т (х3) ip (s4) ip (*,) у (х2)) Ф0)
Л+ (т3, х4, х4, х2)------------------(Ф^ФЙ--------------=
= (ЧГ0, Т (i[> (х3) ^ (х4) ^ (xj) ^ (х2)) ^о)- (17.814) Разложение
выражения (17.314) в ряд показывает, что К+‘ (х3, х4; х4, х2) = К + (х3 —
х4) К+ (х4 — х2) — К+ (х4 — х,) (х3 — х2) —
— Ар- ^ dix' ^ d*x"K+ (х3 — х') у^К + (х' — xi) Dp (х' — х") X X 7(Г+ (х4
