Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
—? -J-co /—?—oo v. J
v t
X f*’ (*') out<pV 1 т (q> (x’) Ф (x)) I ps)in fk (x). (17.217)
Этот матричный элемент можно преобразовать дальше, если выполнено
асимптотическое условие, которое заключается в том, что при произвольных
(но фиксированных) нормируемых векторах состояний | Чг) и | Ф) должен
существовать lim (*F j q/ (а:0) | Ф), или, точнее,
.Т0->±ао
lim (W\i \d3x fk(x)d^(f(x) |®) = <4r|t \ dsxfk (x) "дТфоиДя) \ Ф).
(17.218)
.x0->-±tx) J "in
Xo
Другими словами, асимптотическое условие требует, чтобы имели смысл
предел, определенный равенством (17.185), п аналогичное соотношение
654
Гл. 17. Гейзенберговская картина
для аут-поля [равенство (17.218)]. В общем смысле асимптотическое условие
требует, чтобы теорию можно было интерпретировать с помощью
асимптотических наблюдаемых, относящихся к частицам, т. е. с помощью
наблюдаемых для стационарных ин- и аут-состояний, которые обладают такими
же трансформационными и статистическими свойствами и такими же свойствами
ортогональности, как и состояния свободных частиц с данной массой. Эти
асимптотические состояния строятся с помощью ин- и аут-операторов и
отличаются от состояний свободных частиц тем, что они содержат частицы с
импульсами, отличными от импульсов входящих частиц в случае ин-
состояний (или уходящих
частиц для аут-состояний), и которые соответствуют уходящим (или
входящим) рассеянным частицам. Асимптотические условия требуют, чтобы ин-
и аут-поля можно было получить из гейзенберговских полей вполне
определенным предельным переходом—асимптотическим предельным переходом
[равенство (17.218)]. В дальнейшем мы примем, что рас-
сматриваемая теория поля такова, что асимптотические условия выполняются.
В предельном случае, когда /к —плоская волна, равенство (17.218)
принимает вид
lim lim (*F | i [ d3x <p (x) d0 fk (x) | Ф) = (4я | a^ut (k) | Ф).
(17.219)
1 in
-Следовательно, можно переписать и амплитуду рассеяния {p's', к' | А |
ps, k) = 0Ut(pV | aout (к') а*п (к) | ps)ln =
= out(pV, к' I а*п (к) I ps)in =
= Hm out(p's\ к 'j г ? Ф (ж) д0/к (ж) | ps)in- (17.220)
/-+—СО -J
Используем далее тождество
-)-оо
^ d3x ^ dx°d0F(x)= ^ d3x F (х) — ^ d3x F (х) (17.221)
— СО f=-|-oo f=—СО
и приведем равенство (17.220) к виду i ^ d3z0ut(p's'; к'|<р (ж) | ps)in
S0 /к(ж) =
t = — СО
= г U d3x out<pA'; к' | Ф (ж) | ps)in Ъ0 /к (ж) —
t— -}-00
—j—со
— i ^ d3x ^ dx° д0 [out{pV; к' | ф (х) ]ps)ind0 /к И] =
— 00
= out(p s j к | a0ut (к) | ps)in
— d4?(?* + р-2) out (p's'; к' |’ф (ж) | ps)in-/k (х). (17.222)
Чтобы получить последнюю строку в равенстве (17.222), мы использовали
асимптотическое условие (17.219), написав в первом члене ajut(k). Мы
также воспользовались тем, что |/к (х) удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона
<Шж) = (а2-ц2)/к(ж), (17.223)
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
655
а затем проинтегрировали по частям по пространственным переменным во
втором члене. Первый член можно упростить, если вспомнить, что
одночастичные состояния обладают свойством стабильности: jps)in =
|ps)out-Поэтому
out(P s ! t aout (к) | ps)jn = out(P s 1 aout (k ) aout (k) | ps)out =
= 6(3> (k — k')out (p's' ] ps)out =
= 6(3) (k —k') 6<3> (p - p') (17.224)
так как
[aout (k), a*ut (k')[ = 6<3) (k —k'), (17.225a)
in in
[aout(k), bout(ps)] = 0 (17.2256)
(V0|a;ut(k) = O. (17.226)
Следовательно, матричный элемент рассеяния дается выражением <РУ,
k'|.S|ps, k) = 6ss-6<3) (р-р')6(3) (k-k')-
— i ^ сНх(Пж+^2)0щ(рУ, к'|ф(х)|рУт-/кЙ- (17.227) Поступая так же, как
выше, имеем out(pY, к' | ф (х) | ps)in = out(p's'! aout (к') ф (х)
|p.s')in =
= i ^ ^3У/к'(У)^оиг(рУ|ф(У)ф(2)|р5>1П. (17.228)
t,~+ со
Поскольку в последнем выражении х'° соответствует бесконечно далекому
будущему, напишем
Ф (х1) <р (х) = Т (ф (х') <р (а:)). (17.229)
Применяя равенство (17.221), получаем
2-х /к- [х )-,д
t'~-J-CO
i j dV/k'(*')-^7oout<pV|r(q)(a:')q)(a:))|ps>m =
-СО
Ч-,~+
— i ^ d3x'fk> (х') ^у0и1(Р^'|Т(ф(х')ф(о:))|рб-)1п +
t'—-~ СО
+ i ^ dV ~дх^ [/к' (У) out(pY | Т (ф (х') ф (х)) I ps)in J . (17.230)
Так как интегрирование по гиперповерхности в первом члене выполняется
теперь при х'° — —с», то
Т (ф (х') ф (х)) = ф (х) ф (х') при х'° — * — со. (17.231)
Первый член в правой части равенства (17.230) равен нулю, так как
^ —>?
i ^ d3x' fk' (х')-^то out(p's'|ф(ж)ф(ж') | ps>in-=
( ' —— со
= out(p's' I ф (х) ain (к') [ ps)in (17.232)
656
Гл. 17. Гейзенберговская картина
и поскольку ain (к) | ps)in = bfn (ps) ain (k) j Ч^о) = 0- Для этого мы и
ввели Т-произведение. Выполнив указанное дифференцирование и
проинтегрировав по частям по пространственным переменным, окончательно
запишем равенство (17.230) следующим образом:
(p's', к' | S | ps, к) = in(p's', к' | ps, k)in + ^ dlx ^ d*x' X
X /к' (х') Д (х) (?* + (X2) (?*- + р2) 0ut(pV | Т (ф (х') ф (х)) ] ps)in.
(17.233)
В продельном случае плоских волн равенство (17.233) принимает вид (p's',
k'\S\ ps, k> = 6(3) (p - p') 6ss-6‘3> (k - k') +---------r^= X
