Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
(2я)з]/4cokcok,
X ^ dix^dWeW-x’-b-d (Пх+У2) (СП' + р2) out(pV | T (ф (ж') ф (ж)) ] ps)ln.
(17.234)
Прежде чем перейти к дальнейшему анализу амплитуды мезон-нук-лонного
рассеяния в том виде, как она дается равенством (17.234), отметим, что
можно получить несколько иное выражение, если переписать равенство
(17.228) следующим образом:
i ^ d3x' /к- {х') 0ut(p,s' | Ф (ж') ф (ж) | ps)out =
t —У СО
?<——-?
= 1 ^ d3x'fk,(x") ^?out(p's' |0 (ж' — ж) [ф(ж'), ф(ж)] j ps)ouf (17.235)
1->со
Здесь мы воспользовались стабильностью одночастичных состояний I ps)in =
I P*)out- Вводя запаздывающий коммутатор
R (ф (ж') ф (ж)) = —10 (ж' — ж) [ф (ж'), ф (ж)], (17.236а) _
0 (ж'— ж) = 1, если х'° > ж0,
п п (17.2366)
= 0, если ж 0 < ж0,
мы использовали то, что ж'° находится в бесконечно далеком будущем.
Поэтому 0 (ж'— ж) = 1, а член
i \ d3x' /к' (ж') 0ut(p'^' | Ф (ж) ф (ж') | ps)out —
t-+cx>
= out(p's' I ф (ж) aout (к) I ps)out (17.237)
равен нулю, так как aout (k) | ps)out = 0.
Рассмотрение, аналогичное тому, которое привело нас к равенству
(17.234), теперь дает
1
t—>со
i ^ d3x' /к'(ж')^Гои1(рХ/(0(ж'-ж) [ф(ж'), ф(ж)] |ps)out =
?<— —-?
= - ^ d3ж' /к' (ж') out(p's' IR (ф (хг) ф (ж)) i ps)0ut -
t=Z — со
^ dV<90[ /к' (ж') ^yout'p's' |/г(ф(ж')ф(ж)) J ps)out J . (17.238)
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
657
Интеграл при t— — со не вносит вклада благодаря множителю 0 (а' —а),
который равен нулю при а'° = — со. Таким образом, элемента-матрицы можно
записать также в виде
(p's'.k' |S|ps, k) = 6SS'6<3> (p — p') 6<3> (k — k') ---- x
y4mkwk,
X i ^ d*x ^ с1*х'еЧк'-х’-к-хЦПх + Р2) (?*' + P2) out(p's' | #(ф(а') ф И)
I ps)in-
(17.239)
Необходимо подчеркнуть, что выражения (17.234) и (17.239) для элемента ^-
матрицы представляют одну и ту же функцию только при U2 = /с'2 = ц2 и р2
— р'2 = ill2, т. е. только на массовой поверхности. Вне ее они будут
соответствовать, вообще говоря, различным функциям.
Вернемся к выражению (17.234) для элемента матрицы рассеяния. Заметим,
что правую часть этого равенства можно преобразовать, если учесть, что
Т (ф (х) ф (у)) = у е (х - у) [ф (а), ф (г/)] + у [ф (х), ф (г/)]+
(17.240)
и, следовательно,
Т (ф (а) Ф (у)) = ~ е (х - у) [д0ф (х), ф (г/)] + -i [50ф (х), ф (у)] + +
+ ба) (х0 — г/0) [ф (х), ф (у)] = Т (д0ф(а)ф (у)), (17.241)
так как одновременной коммутатор ф (х) и ф (у) равен нулю. Аналогично
вычисляется и вторая производная:
д\Т (ф (а) ф (у)) = 6(1) (х°-у°) [50ф (х), ф (у)} + Т(д20у(х) ф (у)) =
= _ i6<« (х-у) + Т (3*ф (х) ф (у)), (17.242)
так что
(?* + 9г)П<Р(*)ф(2/))= -^(а-^ + ГЩа^О/)), (17.243)
где
(? + Р2) ф (ж) = J (х). (17.244)
Таким же образом находим
(?„ + Р2) Т (J (х) ф (у)) = Т(J (a) J (у)) - 6(1> (а® - у°) [J (х), 5°ф
(у)]. (17.245)
Здесь мы предположили, что при х0 = у0 операторы ф (у) и J (х)
коммутируют. Это следует из условия причинности, согласно которому
коммутатор двух локальных наблюдаемых (эрмитовых операторов), взятых в
пространственно-подобных точках, должен быть равен нулю. Подробнее
условие причинности мы обсудим в гл. 18. Комбинируя полученные выше
результаты, можно амплитуду рассеяния окончательно записать в виде
(p's', к' | А | ps, к) = 6ss-6<3> (р - р') 6<3> (к- к') +
{ d*x \ dVeW'-*"-***) X
(2л)3 j/4wkmk, J J
X Ut(pV | Т (J (a') J (х)) + 6(1> (а0 - г/°) [J (а'), д°ц> (а)] | ps)in}.
(17.246) Это и есть нужное нам выражение.
42 с. Швебер
858
Гл. 17. Гейзенберговская картина
§ 5. Предельные теоремы для низких энергиЗ
В качестве применения выражения (17.246) для амплитуды рассеяния бозона
на фермионе мы рассмотрим рассеяние фотонов с очень малой частотой
заряженной системой со спином 1/2. В гл. 16 мы отмечали, что рассеяние
фотонов с нулевой энергией на заряженной систем© описывается формулой
Томсона и не зависит от структуры системы. Этот факт был использован для
определения перенормированного заряда. Здесь мы покажем, что в пределе
нулевой частоты фотона не только амплитуда рассеяния, но и ее первая
производная по частоте определяются статическими свойствами системы, т.
е. зарядом, массой и статическим магнитным моментом фермиона со спином
х/2, на котором рассеивается фотон [511, 893]. При последующем
рассмотрении мы всегда будем предполагать, что длина волны фотона много
больше размеров системы. Для рассеяния фотонов нуклонами такой длиной, по
отношению к которой длина волны фотона должна быть велика, является
компто-новская длина волны я-мезона, т. е. должно быть к <С рлс.
Для определенности будем рассматривать рассеяние фотона нуклоном в
псевдоскалярной мезонной теории. Лагранжиан системы связанных мезонного,
нуклонного и электромагнитного полей дается равенством (10.92). Амплитуда
рассеяния фотона на нуклоне из начального состояния [в котором фотон
имеет импульс к, энергию ео = |к|, поляризацию (к), к•?<*?> (к) = 0, а
нуклон имеет импульс р и проекцию спина s] в конечное состояние [в
котором фотон характеризуется величинами к', и', е', (е'-к' = 0), а
