Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
свободных полей (см. также [877]). К этим вопросам мы
вернемся в гл. 18.
Аналогично можно определить аут-оператор
фот (ж) = V. it) ф (ж) У_ (?)~\ (17.186а)
где
у_ (*) = eiH/Q(-)e-im (17.1866).
a = U (0, + со) — волновая матрица Мёллера, дающая аут-решения. Можно
проверить, что гейзенберговские аут-операторы обладают следующими
свойствами:
[? +Ц2]фои1(ж) = 0,
[фон (ж), Фощ (г/)] = (ж — у; |Х),
Ц-СО
ф (ж) = фот (ж)-f Аа (ж — у) J (у) №у.
— со
Кроме того, из определения ин- и аут-операторов следует, что фот (ж) = v_
(t) V+ (ty1 ф;п (x) [V. (t) Y+ .(O'1]-1 =
= S-4pin(a;)S, (17.190)
t. e. A-матрица связывает ин- и аут-поля.
Равенства (17.180) и (17.189) впервые были выписаны Янгом и Фелдманом
[871] и Челленом [408], которые получили их, интегрируя гейзенберговские
уравнения движения с помощью запаздывающих и опережающих функций Грина Ак
и Аа- Так как операторы ф1п и фоиг Удовлетворяют уравнениям для свободных
полей, то указанные авторы постулировали для этих операторов
перестановочные соотношения для свободных полей1). Из того, что фщ и фоиг
подчиняются одинаковым перестановочным соотношениям, получается, что они
должны быть связаны унитарным преобразованием, т. е. фот = S“^inS. (Это
заключение предполагает дополнительно, что ф]П и фоиг имеют одно и то же
вакуумное состояние.) Затем Янг и Фелдман показывают, что так
определенная A-матрица совпадает с A-матрицей, определенной обычным
образом в представлении взаимодействия.
Аналогичные результаты справедливы и для нуклонного оператора. В теории с
нейтральными мезонами, взаимодействие которых с нуклонами описывается
лагранжевой плотностью 561 — G [ф (х) у, ф (х)\ ф (х).
(17.187)
(17.188)
(17.189)
1) Это предположение не обязательно. Так, фсимм(ж)=1/2 (фт (х) +Фсин (ж)1
подчиняется уравнениям свободного поля, а перестановочным соотношениям
для свободного поля не удовлетворяет.
«50
Гл. 17. Гейзенберговская картина
уравнения Янга и Фелдмана для нуклонного оператора принимают вид Ф (х) =
Фш (х) + (х - у) Ф (у) уф (у) d*y (17.191)
= ij5out(z)— ^ SA(X — y)(f(y) y^(y)diy, (17.192)
( — 1\’-<? + М)фт(:г) = ( — iy‘d + M)\jpo^t(x) = 0, (17.193)
№out(z), ijiout (2/)]+= №inW, $in (2/)J+= —iS(x-y\ M), (17.194)
фот (x) = S~4|5ln (x) S. (17.195)
Так как ин- и аут-операторы удовлетворяют уравнениям для свободных полей,
то эти операторы можно разложить на положительно-и отрицательно-частотные
части инвариантным образом, так что разложение будет справедливым для
всех моментов времени.
Иначе говоря, можно, например, написать
Ъ = TWF S (e~lk X aoSt(k) + elfe"alnut(k)) (17.196а)
к0 — юк = l^k2 -V- ц2 = фш (х) +<Рш (х). (17.1966)
out out
Аналогично разлагаются и нуклонные ин- и аут-операторы. Состояние
физического вакуума | 4*0) является собственным состоянием Н = Hjn с
собственным значением 0. Оно характеризуется равенствами
И|1Р’о> = 'ФЙ) (х) | 'Fo) =^5’ (*)|V0> = 0. (17.197)
out out out
Другие собственные состояния гамильтониана
d3a:: фщ (х) ( — iy • д + М) фш (х): +
+ j ^ d3x : (б0(р1п)2 + (аф1П)2 + р2(р?п : (17.198)
строятся таким же образом, как и в случае свободных частиц, рас-
смотренном в гл. 7 II 8, ибо <pin и г|дп по отношению к j Ф’Д имеют такие
же свойства, как операторы свободных частиц по отношению к ]Ф0). Так, н-
мезонное ин-состояние
—afn (kt) ... afn (k„) | ЧГ0>
у гг!
П
является собственным состоянием Н)™ с собственным значением 2 w (к,)
г=1
и собственным состоянием полного импульса Р с собственным значением
П
2 кь Однако важно понять, что, поскольку Н)п=Н, это п-мезонное
i=\
ин-состояние будет также собственным состоянием полного гамильтониана. В
частности, состояние a*n (к4) а*п (к2) |ЧГ0) есть такое стационарное
состояние, когда два пучка свободных мезонов с импульсами к4 и к2
сталкиваются и дают расходящиеся волны продуктов реакции (например,
мезонов, нуклонных пар и т. д.), совместимых с законами сохра-
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
651
нения. Входящие пучки состоят из облаченных (физических) частиц.
Аналогично, состояния
ф?(*)|То>, 'ФщЧяЛЧ'о) И 'ф!п>(я)|ЧГ0>
являются физическими одночастичными состояниями. Чтобы уточнить эти
утверждения, рассмотрим вектор состояния
I ps)in — -(2д)3/2 \ da^(x) ^1п(х) (р) е~1Р-х\^0), (17.199)
где ws (р) — спинор Дирака с положительной энергией, так что р2 — М2 и Ро
> 0. Если подействовать на обе части равенства (17.199) оператором Рд,
использовать равенство (17.96), справедливое для любого гейзенберговского
оператора, и вспомнить, что Рд^о^О, то получим
Pv | ps)in = * 3/, \ [Pv, фт(ж)] y».ws (p)e-ip-
xdo»(x)\Vo} (17.200а)
(z.n) j- J
= — (2^3/а § dv$in(z)y^4p)e“ip'*dCT^)l^o) (17.2006)
= Pv]ps)in- (17.200в)
При переходе от (17.2006) к равенству (17.200в) было проведено
интегрирование по частям и пренебрежено поверхностными членами1). Так как
Рд = (а> = УУ + М2, р), то | ps)in есть собственное состояние оператора
полной энергии-импульса Рд с собственным значением рд и массой М =
|/рдР^. Следовательно, состояние | ps)in — однонуклонное состояние с