Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 279

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 273 274 275 276 277 278 < 279 > 280 281 282 283 284 285 .. 373 >> Следующая

= ф(х, 0) + [U (0, — со), ф (х, 0)] и(0, — со)-1. (17.174а)
Здесь
со 0 О
[U (0, — со), ф (х, 0)] = 2 '^1)1 ^ dixi ... ^ №хп х
П=г1 —со —со
X Р (ШДОч), ф(х, 0 )]3№i(xz) ... тЛ^п))- (17.1746)
В качестве характерного примера рассмотрим теорию, в которой
S@i(x) = J(x) ср(х),
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
647
где J содержит лишь фермионные множители (например, /(#) = = G: ф (х) уф
(х):). В этом случае уравнение движения для ср есть
(? + (^2)ф(^) = J(^)- (17.175)
В такой теории выражение (17.1746) легко вычислить, и
получается
со ООО О
\U (0, со), ф (х, 0)] =+ Ц ((7-П1)Г $ d*y \ dixi \ \ &хп_ iX
^ = 1 —СО —сс —со —со
X А (х — у, - Уо) Р (J (у) Mil (*i) • • • mil (Sn-i)) =
о
= -I- ^ dhjh (X--у, -yo) P(J(y) и (0, -со)). (17.176)
— CO
Используя то, что уо < 0, и свойства хронологического оператора,
выражение P(J(y)U(0, —со)) можно переписать в виде
Р (J (У) V (0, -co))=P(U(0, уо) J (у) U (уо, -со)) =
= 17(0, уо) J (у) U(г/о, — оо) =
= U (уо, О)"1 J (у) U (г/0, 0)U(0, y0)U(y0, -'оо) =
— 3 (У) U (0, - сю). (17.177)
Суммируя полученные результаты, имеем
о
<Pin(x, 0) = ср (х, 0) = jj diyA(x — y, — г/о) j (г/). (17.178)
— СО
Так как все операторы в равенстве (17.178) гейзенберговские, то путем
сдвига по времени получается равенство, связывающее ф1п (х) и ср (х) при
любом х0:
«Pin (X, t) = «Pin (х) = e-iH(<pin (х, 0) elHt =
о
= ф(я) + \ diyA (х — у, -y0)i(y0+t, у) =
— СО
t
= qi(x)+ ^ d*y А(х —у, ж0 — у0) J (г/0, у) (t=x0), (17.179)
— со „
или, в четырехмерных обозначениях, х = (х, г),
t
ср (ж) = <pin (ж) - ^ с74г/А (ж — г/) J (г/) =
— СО Ц- СО
;= «Pin (ж) + jj dtyAn (х — у) J (у), (17.180)
— СО
где Ан (х) — запаздывающая сингулярная функция: Ак (х) = —9 (ж) А (ж).
Равенство (17.180) можно рассматривать как интегральную форму уравнения
движения (? + р2) ср (х) = J (х), решение которого удовлетво-
• 648
Гл. 17. Гейзенберговская картина
ряет начальному условию
lim <р (х) = фщ (х)
Хо~* — со
Последнее утверждение можно доказать, если допустить адиабатическое
выключение взаимодействия, т. е. если G—>Ge~a Iх»1 (см., например,
[412]). Однако доказательство носит скорее эвристический характер, а
математически расплывчато, ибо ф (х) — оператор, и поэтому нужно более
точно определить, в каком смысле ф (х) стремится к ф!П (х).
Хааг [347] первый подчеркнул, что необходимо определить вид операторной
сходимости, который используется в равенстве (17.181). Хааг требовал,
чтобы предельный процесс ф (х) —>фш(х) прих0—»—оо понимался в смысле
сильной сходимости, т. е.
lim || (ф (х) — ф1п (х)) У || = 0 (17.182)
ЛГо~>—со
для любого, но фиксированного вектора | Чр) в области определения Ф (х) и
Фш(я)- В определении (17.182) символ |[Ф|| обозначает норму вектора |Ф),
т. е. ||Ф|[ = (Ф, ф)1/2. Леман, Симанзик и Циммерман [491] показали, что
требование сходимости в смысле (17.182) сталкивается с двумя трудностями.
Первая из них связана с тем, что состояния ф(х)|Чр) и ф1П(х)|Чр) не имеют
конечной нормы. Но эту трудность можно преодолеть, если рассматривать
оператор
ф^ (?) = — i ^ dav- (х) ф (х) 9ц/ (х) (17.183)
<
и аналогично определенный оператор ф{п(Ц, гДе / (ж)— нормируемое решение
уравнения Клейна — Гордона, имеющее вид волнового пакета с положительной
энергией. (Заметим, что оператор ф[п (t) = ф(п в действительности не
зависит от времени, поскольку и /, и ф,п удовлетворяют уравнению Клейна —
Гордона.) Второе возражение связано с тем, что если требовать, чтобы
lim |((Ф'(0-Ф{П)У|| = 0, (17.184)
t—?—СО
и выбрать |ЧР) = |ЧР0 ), то равенство (17.184) означает, что среднее по
вакууму от произведения двух гейзенберговских полей равно среднему по
вакууму от произведения двух свободных полей ф;л в противоречии с
вычислениями по теории возмущений. Поэтому Леман, Симанзик и Циммерман
заключили, что сходимость не может быть сильной и нужно требовать лишь
слабую сходимость. В применении к настоящему случаю оператор ф' {t)
называют слабо сходящимся к ф? , если
lim | Чг, (ф; (t) — ф(п) Ф | = 0 (17.185)
t—?—СО
для всех пар векторов | Чр), | Ф) в области определения ф\t) и ф(п.
Именно в этом смысле нужно понимать равенство (17.181)г). Условия, при
которых в локальных релятивистских теориях поля оператор ф(п существует в
качестве слабого предела, исследовались Гринбергом и Уайт-маном. Они
показали, что даже в теориях с бесконечными перенорми-
(17.181)
!) При 23= 0 положение на самом деле несколько сложнее. В этом случае
нужно также усреднять срf (t) по времени, ибо при Z3 = 0 вектор ф/ (t) [
Ч*-) может не существовать (Гринберг, 1957 г., не опубликовано; см.
[854]).
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
64$
ровочными константами волновых функций (т. е. когда Z"1, Z"1 = со) ин-
операторы существуют как слабые пределы гейзенберговских операторов в
смысле равенства (17.185). Они показали также, что эти операторы обладают
трансформационными свойствами свободных полей с заданной массой и
поэтому подчиняются перестановочным соотношениям для
Предыдущая << 1 .. 273 274 275 276 277 278 < 279 > 280 281 282 283 284 285 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed