Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
импульсом р. Такое же рассуждение показывает, что Tin (х) | 'Fo) является
одномезонным состоянием. Отметим также, что поскольку одночастичные
состояния стационарны, то
Sbfn (ps) I 'Fo) = xpsb*n (ps) I Vo) = b*ut (ps) I Vo), (17.201)
где | ^ps I2 = +1. Аналогичное соотношение справедливо и для одноме-
зонного состояния, и для состояния с одним антинуклоном, так что в общем
случае при подходящем выборе фазовых множителей
|1 частица)т = ! 1 частица)ои1> (17.202)
Аут-состояния I pts, . .. p,,sy, q,, tt .. . qm,tm\ kt .. . k„)out можно
построить таким же образом:
! Pl®i> • • • Vlsl', 4l4 • • • Чт^т\ ki ? . . k„)out =
= -~i==b*ut(p1s1) ... =aSut(k„)|'Fo). (17.203)
У l\ m\ n\
Они также являются собственными состояниями Н и удовлетворяют граничным
условиям для аут-решений. Наконец, A-матрицу можно записать в виде
out(b | a)in = Sba. (17.204)
х) Чтобы оправдать отбрасывание поверхностных членов, нужно рассмотреть
вместо спинора / {x) = w (р) е~ip'x волповой пакет / (х), причем
предельный переход / -+ / выполнять в конце. Член с д0 будет равен нулю в
силу постоянства во времени правой части равенства (17.199), так как и w
(р) е~гр'х, и Чйп(;г) удовлетворяют уравнению Дирака для свободной
частицы.
652
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Развитый до сих пор формализм позволяет выразить матричные элементы,
определенные в картине взаимодействия, через величины в гейзенберговской
картине. Особый интерес представляют матричные-элементы вида (а \ Т (ср
(xt) ... <p (хп) S) | Ь), где | а) и |6) — векторы состояний в
дираковской картине. В этой связи напомним, что если | а) и | Ь) —
собственные («голые») состояния оператора HQ в картине взаимодействия,
то, как было получено,
U (0, — со)! а) = | a)in, (17.205а)
?7(0, + оо) | &) = |b)out- (17.2056)
Подробнее, если
\ а) = a* (kj) ... a* (kn) | Ф0), (17.206)
то
U (0, — со) | а) =
= и (0, - со) a* (ki) и (0, - со)-1 и (0, - со) ... ?7 (0, - со) | Ф0) =
= a*n (к4) . . . afn (k„) | W0) = | ain). (17.207)
Легко проверить следующее соотношение:
{а | Т (ф (xj) . . . ср (хп) S) | b) = out(a j Т (q> (xj) . . . ср (х„))
j b)in. (17.208)
Доказывается оно так же, как и ранее. Допустим, что х10 > х20 > • • • >
хп0, тогда
Т (ф (х,) . . . ф(хп)?) = ?7(со, 0) U (0, х10) ф (xj) U (х10, 0)77(0,
xi0) х X U (х10, х20) .. . ф (х„) U (хп0, 0) U (0, —со) =
= U (со, 0) <р (xj) . . . ср (хп) U (0, — оо). (17.209)
Очевидно, что при произвольном временном порядке
7’(Ф(х1) ... Ф (**)?) = ?7 (со, 0) Т (ф (х^ ... ф (xn)) U (0, - оо).
(17.210)
Отсюда сразу следует равенство (17.208).
В качестве применения равенства (17.208) выразим в конечном виде через
гейзенберговские операторы амплитуду мезон-нуклонного рассеяния в
нейтральной псевдоскалярной теории [512]. Для этого вспомним, что в
дираковской картине амплитуда рассеяния из начального состояния |ps; к) в
конечное состояние |pV;'k') дается выражением
(pV; к' | J | рs; к) = (pY | а (к') Sa* (к) | ps). (17.211)
В дальнейшем мы будем широко использовать тот факт, что операторы
рождения и уничтожения мезона и аа в одночастичном состоянии /а можно
записать в виде
а*а = г ^ Ф (х)\ fa (х) (Рх (17.212а)
t
и
а<х, = i ^ fa (х) доф (х) Рх. (17.2126)
t
Здесь fa — решение уравнения Клейна — Гордона, имеющее вид нормируемого
волнового пакета с положительной энергией. Рассмотрение с помощью
волновых пакетов обладает тем преимуществом, что состоя-
§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине
653
ние Яа|Фо) имеет конечную норму, в то время как состояние «к|Ф0)
ненормируемо. В предельном случае плоских волн
U (*) ->/k (X) = е-*-* (17.213)
у Л (2JT)d cok
и соответственно аа—>ak, Отметим, что, поскольку / и ср
удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, время t, при котором проводится
интегрирование в равенствах (17.212а) и (17.2126), произвольно. Поэтому
равенство (17.211) можно переписать следующим образом:
(pV; к'|5|ра; к> =
= — ^ d3x' ^ d3a:/k' (х')-щ (p's' | cp (s') .S’Ф (z) ip s) -~fk(x).
(17.214)
t’ t
В дальнейшем мы предположим, что /к и fk> соответствуют нормируемым
решениям уравнения Клейна — Гордона с импульсами, приблизительно равными
к и к'. Предельный переход /к—> (плоская волна с импульсом к) будем
совершать лишь в конце вычислений. Следует напомнить, что правильное
описание реального эксперимента по рассеянию требует использования
волновых пакетов, а амплитуда (p's'; k' ( S ( p.s; к) является на самом
деле идеализированным пределом.
Так как значения t и Г в (17.214) произвольны, то удобно t взять в
бесконечно далеком прошлом, а Г —в бесконечно далеком будущем. Это дает
возможность записать (17.214) в виде
(p's'; к' | S ) ps; к) =
<-? ч-->
= — ^ d3x ^ d3xfk.{xr)-^{p's'\T{y{x’)Sy{x))\Vs)-^-fk{x).
t'=-J-co t=—оо
(17.215)
Используя равенство (17.210), матричный элемент в (17.215) можно
представить следующим образом:
(p's' | Т (S ср (х') ф (х)) | ps) = out(pV | Г (*р (х/) <р (я)) | р s)in,
(17.216)
так что окончательно (p's'; к' | S \ ps; к) = — lim lim ^ d3x С d3x х
