Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
причем (Z(32))_1 = 1 + С<2>. Следовательно, в этом случае D'FR(k2) в
пределе к2 —> со есть
Иш 1УРВ (к2) ~ —г- ^ (17.155)
fe2—>со
или
lim Р (к2) ~----------------------- • (17.156)
Зл 4то2
Если согласиться с таким результатом, тогда постоянная пределу Р (к2) при
к2—> со, при отсутствии обрезания может быть отрицательной. А это
противоречит общему соотношению 0<Z3<1, полученному в предположении, что
каждое состояние обладает положительной нормой в гильбертовом
пространстве. Поэтому, чтобы теория была математически последовательной,
должны существовать состояния с отрицательной нормой («призраки»).
Следовательно, А-матрица уже не будет унитарной, и положение фактически
очень похоже на то, с которым
§ 3. Величина перенормировочных констант
643
сталкиваются в модели Ли (см. § 2 гл. 12), когда константа связи
превосходит по величине критическое значение [415, 272, 793, 794, 474].
Этот результат для функции D'F был получен суммированием особого класса
диаграмм Фейнмана, не обращая внимания на то, удовлетворяет ли это
приближение общим требованиям, следующим из представления Лемана
[равенство (17.76)], или нет. Рассмотрим, что получится, если
потребовать, чтобы для такого приближения выполнялось равенство (17.76)
[661, 68]. С этой целью запишем вклад члена 7г-го порядка в Р (к2) при
больших к2 в виде
рш (/?2) ^ _ (/г (17.157а)
F (к2, т2) = -g- . (17.1576)
Здесь в аргумент логарифма введен член 4т,2, чтобы правильно представить
мнимую часть F
ImF(k2, т2) = — -'у- 0 (к2 — 4т2) (17.157в)
и в то же самое время сохранить нормировку F (0, т2) — 0.
Непосредственное суммирование Р(п)(к2), как мы видели, дает
со
lim Р т = 2 Г" <*?) _ , (17.158)
11=0 "Зя 4т2
Поступим, однако, таким образом, чтобы удовлетворялось равенство
(17.76). Для этого заметим, что член функции распространения ЗДнДА2),
соответствующий п-му приближению, есть
D^{W) = ^Pw{k2)~±(j± 1п^=*а)п. (17.159а)
Его можно представить в лемановской спектральной форме, если написать,
что
'FR
причем
Теперь
так что
<4’)“lKSlniT5^)”= \ <17Л59б>
4ш2
яIn (z) = Im D’it (к2). (17.159b)
(17.160)
(JO
/ W = 2 w - 7Й7 [(1 - W + -T] “0 <* - 4m‘>- <i7- lei,
77=0
и в этом приближении фотонная функция Грина, удовлетворяющая равенству
(17.76), дается выражением
оо
4 m2
_1_ С л оя 1 4т'2 — к2 Зя 1 /Лп /)fio ^
к2 \ Зя П 4т2 ) а„Т, , -Зя/ая ,,2 ‘ Зл/а„. ’
(17.162а)
' Я[1 — 4е Я] [А2_4т2-Ит2е ' Я]
41*
644
Гл. 17. Гейзенберговская картина
которое при к2 > т2 и ак < 1 принимает вид
• (17.1626,
Зя 4т'2
Функция распространения (17.1626) обладает следующими свойствами:
1) она не имеет логарифмического полюса;
2) в окрестности aR = 0 функция D'FR (к2) имеет существенную особенность
вида е_3г1/ад. Тем не менее в окрестности точки ак = 0 асимптотическое
разложение DFR (к2) совпадает с обычным разложением теории возмущений, п-
й член которого можно представить в виде (17.159а);
3) из соотношения Z”1 = lim k2D'FR (к.2) получаем
fe2->CO
(17.163)
Z,=
ЦД
Зя
так что при таком методе вычислений «голый» заряд (а0 = ZllaR = Зя) не
зависит от ан. (Эта возможность уже предполагалась Гелл-Манном и Лоу
[304], которые указывали, что при конечной постоянной Z3 «голый» заряд не
зависит от перенормированного заряда.)
Такая возможность, когда решения релятивистских теорий поля имеют
существенную особенность при равной нулю константе связи, была особенно
подчеркнута Редмондом [661, 662, 663]. В частности, Редмонд и Урецкий
[662] предположили, что все нетривиальные теории поля характеризуются
спектральными функциями q(M2), которые имеют существенные особенности при
М2 = 0, так что в разложениях этих функций по степеням константы связи
все коэффициенты будут расходящимися функциями М2 при М2—> со, даже если
сумма ряда стремится к нулю1). Кроме того, Редмонд и Урецкий
предположили, что разцица между перенормируемой и неперенормируемой
теорией заключается в том, что первая допускает асимптотическое
разложение в окрестности нулевого значения константы связи, а вторая — не
допускает.
Итак, мы показали, как может появиться возможность 0 < Z3 < 1. В
настоящее время неизвестно, какая из перечисленных выше возможностей
соответствует правильному решению. В существующей формулировке квантовой
теории поля это остается нерешенной математической задачей.
Челлен [413, 417] попытался доказать, не используя явно теорию
возмущений, что перенормировочные константы в квантовой электродинамике
конечны. Основные этапы его доказательства таковы. Принимая, что
электродинамика является математически непротиворечивой теорией и что
мультипликативные перенормировочные константы Zi, Z2 = Zl п Z3 конечны,
Челлен устанавливает формулу для асимптотического поведения
перенормированной вершинной функции Гнц (Р, Р') =
— Г 1ц (р,р')= Гщ (р2,р'2, (р — р')2) В том случае, когда квадрат
передачи
Z Л/2 \-aRjZn
х) Рассмотрим функцию ( \ , которая при больших М2 стремится
к нулю. Однако ее разложение в степенной ряд
