Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
нуклон имеет импульс р' и проекцию спина s'] имеет вид1)
(p's', kV | А | ps, ke) = out(pV, k'e' | ps, ke)In =
= 6(3) (k - k') (P - P') 6ss- + (2^5 5 d4x ^ dWeW
? *'-»*•*> x
X{out(p'5'j71(e'-j(x')8-j(a:))-l-6(a:o-a:;) [e'-j (a:'), e-d°A (a:)] |
ps)in}, (17.247)'
где j (x) — Пространственная часть2) 4-вектора фДа;), являющегося
источником электромагнитного поля:
? Ай(а:) = ^(а:). (17.248)
Ток в обсуждаемой теории определяется выражением
jn(*)= ~ie (5+ геА,,ф)] +
+ уб [ф(а;)уй-|(1 + Тз), ф(я)] • (17.249)
В равенстве (17.249) <р, <р* — гейзенберговские операторы,
соответству-
ющие заряженным мезонам. Используя это выражение для j^, легко вычислить
одновременной коммутатор в равенстве (17.247)
Ь(х0 — х0) fji(a;'), «9°А* (я)] = — 2е26 (х0 — х0) ф* (х') ф (ас') [А*
(х'), д°Аг (х)] =-•
= + 2ге2б (х0 — а:') б(3) (х — х') gu<(* (х') ф (х’), (17.250)
!) Собственное значение Т3 для нуклона мы не выписываем.
*) В данном случае жирный шрифт для j означает то, что j—гейзенберговский
оператор (перенормированный) и что он трехмерный вектор.
§ 5. Предельные теоремы для низких энергий
659
так что 5-матрица имеет вид
(p's', kV|5|ps, ke> = 6<3,(k-k')6U'6'3,(P-P')6SS' +
+ Jy, y~j^7 \ dbeW-V-^tip's' | Ф* (*) Ф (x) J ps)ln e'-e +
+ дЛз-т^—=? \ d*x [ dix’eik''x'-ik'x x (2я)3 /4(00' J J
X 0ut(pV | 71 (e' • j (x') E-j (я)) | ps)in. (17.251)
Если написать, что 5 = 1 — 2mT, тогда Т можно выразить следующим образом:
з
(p's', k'e' | 71! ps, ke> = (23t)4 /4^-' 2 (17.252a)
1, 771— i
где
ttm = 2ie2 d4x e*(*'-*>•* out(pV |ф* (x) ф (x) | ps)m6zm +
+ ^ d4x \ out(p's' IT (j, (x') jm (x)) I ps)in. (17.2526)
Докажем теперь, что
з
2 Wimkm = w'o) ^ d4x ^ d4x'eift'-*'e-ift-*ont(p's' IT (q (x') q (x)) I
ps)jn,
I, 771—1
(17.253)
где q (x) = j0 (x) — плотность заряда.
я
Доказательство: Рассчитаем сначала 2
1—1
з
2 Шгт = 2ie3 $ d4xe^'-*>-*out(p's' | ф* (х) ф (х) | ps)in-^ +
/= 1
+ i ^ d4x$ d4x'^'-'e-^-0Ut(pV|r(a'.j(x')jm(x))ips)ln. (17.254)
Используя уравнение непрерывности
. «7-255>
г=1
можно второй член в правой части равенства (17.254) преобразовать к виду
out (pVI Т (9'q (х') jm (х)) [ ps)in. Так как
W)==^-07,(Q(^)jm(x))-6(x0-x;)[e(x')) jm (х)], (17.256)
то, подставляя выражение (17.256) в формулу (17.254), после
интегрирования по частям находим 3 , •
2 = 2ie2 ^ d4xei(ft'-fe)-* 0ut(pV \ ф* (х) Ф (х) | ps)ln k'm —
1= 1
- г ^ d4x ^ d4x'eift'-x'e-ift-« 0Ut<pV | [q (х'), jm (х)] | ps)in 6 (х0 -
х0) +
+ ^ d4x d4x'(o'eift'‘*'e-ih'*out(p's' |Г(с(х') jm (х)) | ps)In.
(17.257)
42*
660
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Используя выражение (17.249) для 4-вектора тока и одновременные и
перестановочные соотношения, можно вычислить коммутатор [Q (z')> jm (я)]
и проверить, что первые два члена в (17.257) взаимно уничтожаются.
Проделав аналогичные выкладки и воспользовавшись равенством нулю
одновременного коммутатора q(z) и Q(y), в результате получим равенство
(17.253) з
2 Wimkm = ш'со ^ ^ dVeih-xe~ih'?*' out(p's' I T (q (x') q (x)) I ps)ln.
I, 771= i
Это равенство является следствием калибровочной инвариантности теории.
Если из других источников можно получить достаточную информацию
относительно коэффициентов в разложении tim по тензорным структурам, то
равенство (17.253) можно применить для вычисления самой функции tim.
Преимущество, получаемое при использовании соотношения (17.253) для
расчета рассеяния, заключается в том, что если интересоваться амплитудой
рассеяния, пренебрегая величинами порядка к и выше, то достигается
существенное упрощение, так как
^ d3XQ (х) = Q есть оператор полного заряда и Q | ps)in = ен(ря)1п или
0 j ps)in. Мы покажем, что амплитуду рассеяния с точностью до величин
порядка к можно выразить через матричные элементы плотности заряда q(x),
а не через плотность тока j(z). Из равенства (17.2526), определяющего
tim, видно, что первый член (пропорциональный ф*<р), если пренебречь
степенями к выше второй, не зависит от спина и пропорционален бim. Второй
член можно записать в виде суммы по промежуточным состояниям, если между
множителями j; (х') и jn, (х) вставить полный набор состояний. Вклад в
сумму, который возникает от одно-нуклонных промежуточных состояний
(невозбужденных состояний) t\m, легко подсчитать с точностью до величин
порядка к. Прямые вычисления дают, что сумма 2 Wtmhm равна нулю. Можно
показать, что
Im
вклад от возбужденных состояний t\m с точностью до величин порядка к
пропорционален 6im и матричным элементам щт. Другими словами, в этом
приближении
hm — A&lm Bcim tfm, (17.258)
так что, подставляя выражение (17.258) в (17.253), находим
(к' • к) А + (а- [к' х к]) В = со'соС, (17.259а)
где
С= ^ d4z ^ d*x'eih’'х'e~ik‘хои((р’s’ | Т (q (xf) q (x)) | ps)in.
(17.2596)
Спинорные множители ms< (p') и us (p) в равенствах (17.258) и (17.259a)
были опущены. Посмотрим, как вычислить величину С. Трансляционная
инвариантность теории позволяет упростить равенство (17.259а). Так как
оператор полной энергии-импульса системы Рц является генератором
