Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
— х") (х" — х2) — (Обменный член с х3 <—? х4) -j- . . .
.
(17.315)
Этот ряд можно представить с помощью диаграмм фиг. 141.
Солпитер и Бете [696] проанализировали структуру ряда (17.315) аналогично
тому, как это было описано в гл. 16. Они назвали диаграмму приводимой,
если ее можно разделить на две несвязанные части
линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из фермионных
пересекает лишь один раз. Примеры таких приводимых диаграмм а и б даны на
фиг. 142. Неприводимые диаграммы до четвертого*порядка включительно
изображены на фиг. 143. Ясно, что приводимые диаграммы всегда можно
разбить на неприводимые части. Кроме того, неприводимые диаграммы можно
упорядочить по степеням константы связи в [соответствующих матричных
элементах.
Если обозначить через 2 G<m) (хь я4) = <7 (хь х2; х3, х4)^сумму
тп
всех выражений, соответствующих неприводимым диаграммам, то двухчастичную
функцию распространения К%у (х3, х4; хи х2) (опуская обмен-
Диаграммы второго порядка
а 5
Диаграммы четвертого порядка
t
а г i а
-Sm f
О к ' V к i к О
-к S. i а
i к
6'
Фиг. 143
§ 6. Проблема связанных состояний
673
ный член) можно записать в следующем виде [696]: Kf (хз, xk\ хи x2)—
K'+(x3 — xl)K+(xi~-x2) =
X 2 G‘m) (хь, хъ\ ХЧ, xs) К+' (х7, х8; xt, х2). (17.316)
(т)
Хотя это интегральное уравнение и содержит бесконечный ряд
Если итерировать уравнение (17.316), то становится очевидным, что
приводимые диаграммы уже учтены в интегральном уравнении. И
действительно, итерации дают в точности все члены разложения в ряд
равенства (17.314). Нужно также отметить, что при записи в виде (17.316)
можно не рассматривать все фермионные собственно-энергетические | части,
так как они уже учтены тем, что каждой фермионной линии в G(m)
соответствует множитель — 1/2S'f = К+. Тот факт, что все приводимые
диаграммы уже включены в (17.316), может быть бесспорным преимуществом
для теорий, в которых константа связи мала, при этом 2 ^<т> можно
рассматривать как асимптотический ряд. Напри-
мер, большая часть энергии связи между протоном и электроном обусловлена
повторяющимся действием диаграммы на фиг. 143,а, т. е. диаграммами,
показанными на фиг. 144. При этом преимущество, которое получается при
использовании уравнения (17.316) с ядром G(1), эквивалентно тому, которое
мы имеем, когда решаем уравнение Шредингера с потенциалом, а не
рассматриваем потенциал как возмущение.
В электродинамике функция взаимодействия G(1> в низшем порядке по е
дается выражением
где значки а, Ъ относятся к двум фермионам, которые здесь предполагаются
различимыми. В этом приближении, которое известно как «лестничное»
приближение (так как оно учитывает все диаграммы такого
!) Существуют указания, что этот ряд не сходится [384], если только между
матричными элементами, соответствующими неприводимым диаграммам данного
порядка, не происходит существенных сокращений.
2 G<m), ясно, что в нем меньше членов, чем в разложении (17.315)1).
(т)
Фиг. 144.
(т)
Ga)(x5, хе; хъ Xs) = e2DF(x5 — xe)6m(x5—x1)6w(xe~xs)^ybil, (17.317а)
43 с. Швебер
674
Гл. 17. Гейзенберговская картина
вида, как на фиг. 144), функция распространения получается как решение
интегрального уравнения
K'+(kA)(xi, х2\ yi, y2) = \sF(xi — yi)SF(x2 — у2) + ужх ^ d4z4 X
X Sp{xi — x2)SF(x2 — xk)^y^Dp(x2 — xlt)K'+w(x2, xk\ yu y2), (17.3176)
где для простоты частицы опять считаются различимыми.
Связь функции распространения К'+ (ху, х2\ х3, z4) со свойствами
стационарных состояний системы полей была установлена Гелл-Манном и Jloy
[301] и Иденом [209]. Обозначим собственные состояния оператора энергии-
импульса системы через [ р, а). Если теория допускает связанные состояния
двух фермионов, то эти связанные состояния будут характеризоваться, в
частности, их энергией связи или массой покоя Мт. е. если —вектор полной
энергии-импульса связанной системы, то Далее, когда tlt t2> t3, f4,
T (ф (a^) ф (ar2) ф (z3) ф (z4)) = Г (ф (г^ф (z2)) Г (ф (z3) ф
(z4)), (17.318)
и поскольку предполагается, что набор состояний j р, а) является
пол-
ным, то двухчастичную функцию распространения можно записать следующим
образом:
К’+(хи х2,х3, ar4)= S (гРо| Т (ф (Д7|.) ч]? (aJ2)) I Р> °> (Р> ^
('Ф (^з) Ф (а;4)) |Чго> =
1р. <*>
= 2 Xpa(xi, x2)tf (х3, Xi), (17.319)
V, а
где
%ра(х 1, я2) = (Ч'о | 71 (ф (ад) ф (ar2)) | р, а) (17.320а)
и
Хра (Хз, Xi) = (р, а I Т (ф (ar3) ф (ж4)) j Vo) =
= <Ф0, Г*(фЫф(*4))|р, а) \°y°- (17.3206)
В равенстве (17.3206) Т* означает антихронологическое упорядочивание
операторов, т. е. операторы, относящиеся к более поздним моментам
времени, должны стоять справа от операторов, соответствующих пред-
шествующим моментам времени.
Установим теперь те свойства функции хра(ад, х2), которые вытекают из
трансляционной инвариантности теории. Поскольку при сдвиге на величину а
U(o)|p, а) = е‘р-а|р, а) = е‘Р-а|р, а), (17.321)
получаем
%ра (xi, х2) = (W0) e~ip-°eip-aT (ф (ад) ф (х2)) e~ip-aeip-a | р, а) ==
