Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Б. Система, состоящая из максвелловского и дираковского полей
Запишем лагранжеву плотность (3.5.4) в трехмерных обозначениях:
Л = -L (E11E11 -BvBv-) —(1Flli-iaAvW)--(Wtil + iaAfi) + — W (¦^+4 ) -
-T (-S—+ (4-2-18)
94
Pлава 4
Тогда 4-вектор плотности электрического тока дается формулой (2.4.11)
/Ii=Jec1FYiilIf, P = Je1FY41F = C1F+1F. (4.2.19)
Будем считать, что матрицы Дирака инвариантны и относительно несобственных преобразований Лоренца:
YV = Yfe. (4.2.20)
(Штрих при индексе соответствует эффекту преобразования, связанному с тензорной природой этого индекса, штрих же у самой буквы отражает эффект преобразования за счет явно не выписанных спинорных индексов.)
Покажем теперь, что теория максвелловского и дира-ковского полей также инвариантна относительно пространственного отражения и обращения времени.
Пространственные отражения
Инвариантность лагранжевой плотности (4.2.18) обеспечивается законом преобразования
а) 1F' (Xі') = OLpyiY(Xi),
б) 1F'^1')=—aP#1F (ж{) Y4>
где аР — константа, аР*аР = 1. Тем же обеспечиваются правильные трансформационные свойства (4.2.5) 4-вектора плотности электрического тока (4.2.19).
Отметим, что при двукратном отражении имеет место преобразование
?"(ж4")= -CCp21F (z1). (4.2.22)
Обращение времени
Описание обращения времени в теории поля Клейна — Гордона может быть сопоставлено с антилинейным (перекрестным) преобразованием
Y'(я*') = SPF2V) (4.2.23)
(Я — квадратная матрица), откуда следует
?' (Xі’) = 1Ft (Xі) р2Гр. (4.2.24)
Дискретные симметрии в класс, теории поля и механике 95
Индекс T обозначает здесь транспонирование. Требование инвариантности лагранжевой плотности (4.2.18) приводит к матричным условиям
a) Я+РЯ = р, б) P+PvllSl = - Vr, в) Pa+Pv4I = ї4т- (4.^0)
Присутствие в формулах транспонированных матриц наводит на мысль воспользоваться при решении рассматриваемой задачи специальным представлением матриц Дирака. Примем за стандартное представление следующий набор матриц:
0 "¦).
(4.2.2G)
о>’
IO 1
V4 = M
для которого
Yi=-Tit = Ti+. Ta = Var=Ta+.
Vs = — Vst = Ys+. V4 = Ї4Т = — Ї4+
(4.2.27)
При этом матрицы Паули имеют вид
¦И? о)• о)' *= (I J)¦ <4-2-28»
В таком представлении условия (4.2.256) и (4.2.25в) записываются в виде
PSI+PViSI = Ti. РЗРРїгЯ = — V2.
PSI+Py3SI = T3, PSrPY4SI = Y4-
Как можно проверить подстановкой, выбор
SI = CCrYiYsP, ЭД+ = ar*Pv3Yi (4.2.29)
(аТ — константа, ar*ar = l) удовлетворяет всем условиям. Тогда преобразование обращения времени в стандартном представлении матриц Дирака имеет вид
1F' (Xі') = OL^VaVi (1Ft
96
Глава 4
Повторное обращение времени дает
W (^")= -1F(Zi). (4.2.31)
В. Релятивистская механика материальной точки
Представляет интерес также исследование преобразований пространственного отражения и обращения времени в релятивистской механике материальной точки (трансформационные свойства нерелятивистских величин входят сюда как предельные случаи). Обратимся при этом к эйнштейновскому уравнению движения
(4-2-32)
и к эквивалентному ему уравнению Гамильтона — Якоби (Wlt-^-Al) Ai) +/JX02C2 = O. (4.2.33)
dxi
В трехмерной записи эти уравнения имеют вид
т0-
Ii2Xil
dx2
dxv
dx
В»и
dxi
dx
т0-
d2x*
dx 2
BK
dxv
dx
(4.2.34a)
(4.2.346)
При этом имеется в виду соответствие
(Smn) = I
Biiv I
-Ev
0 B3 -B2
-B3 0 B1
B2 -B1 0
-Ev 0
(4.2.36)
Дискретные симметрии в класс, теории поля и механике 97
Пространственные отражения
Рассматривая преобразования (4.2.3), (4.2.7) и (4.2.8), сразу же обнаруживаем инвариантность обоих уравнений
(4.2.34). Инвариантность же (4.2.35) обусловливается законом преобразования
W'(Xv) = W (з?). (4.2.37)
При учете СВЯЗИ между каноническим импульсом Pi и функцией действия W
Pl = ^r • (4.2.38)
можно получить законы преобразования
а) х^' (t) =—х* (t), б) t' = t,
в) Pw (t) = — pv{t), г) р4' {t) = Pi{t)- ^4'2'39)
Примем, что масса покоя т0 является инвариантом относительно пространственного отражения; тогда вследствие
(4.2.3) эти же формулы сохранят силу и для механического импульса
(м Wpi = Tn0Ui. (4.2.40)
Для орбитального тензора момента импульса
^nv = Vv- XvPil (4.2.41)
получаем
<Vv' (O = dHv (*)• (4.2.42)
Итак, в силу инвариантности уравнений движения отно-•сительно пространственного отражения величины (4.2.39а) и (4.2.396) также являются решениями этих уравнений, если исходные величины были их решениями.
Обращение времени
Подобным же образом с помощью (4.2.11), (4.2.15) и (4.2.16) подтверждается инвариантность уравнений
(4.2.34) относительно обращения времени. Инвариантность уравнений (4.2.35) можно обеспечить, задавая закон преобразования
W(Xv)=—W(Xi). (4.2.43)
7-01350
Глава 4
Такая ситуация согласуется с законами преобразования
(4.2.9) и (4.2.17), если здесь принять во внимание связь между волновой функцией vF, амплитудой Z и функцией действия W:
