Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
+ {W,j + iaAjW)yi}W]. (3.5.7)
86
Глава З
Результаты, полученные здесь из общерелятивистской теории переходом к частнорелятивистскому пределу, могут быть также (если это еще не сделано) получены непосредственно из частнорелятивистской теории. При этом, в частности, следует иметь в виду, что при бесконечно малых преобразованиях Лоренца тензоры и биспиноры преобразуются следующим образом:
а) Ф'=Ф, б) ф*' = ф* (3.5.8)
(Ф — волновая функция поля Клейна — Гордона);
a) Ay = Aj — CtijAi, б) Ai = Ai-^aiiAx (3.5.9) [Ai — потенциал поля Максвелла);
а) Y'= Y+ -^amnSmn1F,
_ . _ (3.5.10)
б) ^ = T--Lamn^Qmn
(1F — волновая функция поля Дирака). Отсюда следуют выражения для существенных вариаций:
а) Д8Ф = 0, б) Д3Ф*=0; (3.5.11)
а) AsAj= -(XijAi, б) AsAi = CtiiAi; (3.5.12)
а) A4V = -LamnSmnVl б) AsV=-JamnWQmn. (3.5.13) Здесь*)
\
^mn = ~2f (УгпУп УпУт)• (3.5.14)
1J Этот «матричный тензор спина» часто обозначают буквой а (см. [24]).— Прим. перев.
ГЛАВА 4
ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И МЕХАНИКЕ
§ 1. Несобственные (дискретные) преобразования Лоренца
Мы будем здесь исходить из данных гл. 3, § 1. Условие (3.1.6а) охватывает как собственные, так и несобственные преобразования Лоренца. Первые выделяются определяющим их условием (3.1.66). Тогда несобственные преобразования Лоренца определяются условиями
Для пространственных отражений имеются следующие четыре возможности:
й) I Am^ I — 1,
6) \ AmvI=+I при Aii'<0.
(4.1.1)
Приведем их дальнейшее подразделение.
А. Пространственные отражения.
т. е. х'=—х, у' = у, z’= Z, t' = t\
Т. е. х' = х, у'=—у, z' = z, tf = t;
88
Глава 4
-1 0 0 °\
0 -1 0 0I
0 0 -1 0
0 0 0 1/
, z' = = •—Z. , t' = t
т. е. х'=х, y'= у, z'=—z, t'= t;
г) (^mi') =
т. е. х'=—X, у' =—I
Если в первых трех случаях производится обращение всякий раз лишь одного из пространственных направлений, то в четвертом происходит отражение всех трех пространственных координат. Следует иметь в виду, что обращение лишь двух пространственных координат сразу не есть несобственное преобразование Лоренца х).
Б. Обращение времени
В этом случае матрица преобразования имеет вид
Г) (AJ')
т. е. X =X, у = у,
В. Пространственно-временное отражение
Матрица преобразования имеет вид
/
(AJ') =
V
т. е. х'=—х, у'=—у
/1 0 0 0
10 1 0 0
0 0 1 0
Vo 0 0 -1
z' = Z, t' __ — t.
I 0 0 °\
0 -I 0 0I
0 0 -I °/
0 0 0 — I/
z' = - -Z, t'= —
х) Дело в том, что результат применения последовательно двут операций пространственного отражения [например, (а) и (б)] може-быть достигнут и с помощью конечного непрерывного преобразования поворота, что невозможно для каждого из этих преобразований в отдельности.— Прим. перев.
Дискретные симметрии в класс• теории поля и механике 89
Для этого несобственного преобразования Лоренца I A Tni' I = 1, однако оно никак не сводится к обычным собственным преобразованиям Лоренца (поворотам), так как вследствие индефинитно сти метрики невозможно прийти путем лоренцевых поворотов к ситуации с противоположно ориентированным направлением оси времени. Ввиду невозможности достигнуть в инерциальной системе отсчета сверхсветовых скоростей направление времени ограничено лишь внутренностью светового конуса х).
§ 2. Ириложение к физическим полям и к механике
Дискретные преобразования Лоренца по-настоящему приобретают значение лишь в квантовой теории поля, так как соответствующие симметрии и законы сохранения требуют для своего описания операторного исчисления квантовой теории, в то время как нётеровская теория, очевидно, связана с бесконечно малыми (непрерывными) преобразованиями. Несмотря на это, все же интересно исследовать поведение классических полей и при дискретных преобразованиях Лоренца. В духе нётеровской теории мы ставим при этом во главу угла форм-инвариантность лагранжевой плотности, а не ковариантность уравнений поля, которая вытекает из первой, а не наоборот.
Основная задача при нахождении трансформационных свойств геометрических объектов относительно несобственных преобразований Лоренца сводится теперь к тому, чтобы найти принцип, которому надлежит следовать. Можно, например, отыскать с помощью теории представлений группы Лоренца различные возможные типы геометрических объектов (тензоров и спиноров) [9], но это еще не дает ответа на вопрос, к какому из этих типов принадлежат реально существующие в природе поля. Оконча-
*) Ограничение инерциальными системами отсчета здесь ни при чем. Какие бы силы ни действовали на объект, он ни в один момент своего неинерциального движения также не сможет превзойти (или хотя бы достигнуть) скорость света, если он начал свое движение с досветовой скорости.— Прим. перев.’
90
Глава 4
тельное решение этого вопроса может дать только опыт. При этом нам кажется разумным руководствоваться следующим постулатом, который мы и испробуем в качестве путеводной нити:
Форм-инвариантностъ лагранжевой плотности (и тем самым и ковариантность основных физических законов) должна быть реализована с максимальной математически возможной полнотой.
