Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
102
Глава 5
В лагранжевой формулировке теории поля оператор лагранжевой плотности
A = A(Ua, U0ti, Xі) (5.1.4),
играет центральную роль. Он связан с оператором Лагранжа (лагранжианом) L следующим образом:
Ht)= j Л (C/q, Ua, j, x^d^x. (5.1.5)
V3
Из физических соображений требуется эрмитовость Ь\
L = L+, (5.1.6)
ибо в противном случае важные физические операторы
конструируемые из L, не будут наблюдаемыми.
Это требование эрмитовости автоматически выполняется при эрмитовости лагранжевой плотности:
Л = A+, (5.1.7)
хотя постулату (5.1.6) удовлетворяют и неэрмитовы лагран-жевы плотности, если их можно «исправить» добавлением подходящего дивергенциального выражения. Все же формально очень удобно принять соотношение (5.1.7), так как при этом мы имеем симметрично построенную теорию, в которой весьма просто производится переход от исходных уравнений к соответствующим эрмитово сопряженным уравнениям поля.
§ 2. Лагранжев формализм, теорема Нётер, дифференциальные и интегральные законы сохранения
Внешне оператор лагранжевой плотности (5.1.4) имеет тот же вид, что и классическая лагранжева плотность. Ho если последняя может обычным образом дифференцироваться по полевым функциям и их производным, как это и делалось в предыдущих главах, то дифференцирование оператора по оператору уже проблематично ввиду того, что в общем случае входящие сюда операторы не коммутируют друг с другом. Это проще всего пояснить на примере операторной функции
/ = ?? = ?^
Непрерывные симметрии в квантовой теории
103
для которой можно получить соотношение
d/=a(da) + (da)a,
откуда, вообще говоря, отнюдь не следует соотношение
В литературе имеются различные попытки определения разумного выражения для частного дифференцирования по оператору, но все они представляются нам более или менее неудовлетворительными. Наиболее практичным было бы следующее правило, которого мы и станем здесь придерживаться *).
Вычисления проводятся так же, как в классической теории, после чего множители расставляются по правилу нормального произведения.
Нормальное произведение, которое обозначается обрамляющими его двоеточиями, определено таким образом, что при перемножении под его знаком произведений полевых операторов, куда входит ряд множителей, подразумевается изменение порядка следования операторов уничтожения и операторов рождения. По определению операторы уничтожения переносятся в правую часть произведения, а операторы рождения — в левую. В ходе такой перестановки следует принять во внимание появление знакового множителя, соответствующего перестановочным соотношениям операторов. Нормальное произведение от суммы равно сумме нормальных произведений.
G учетом этих замечаний мы перепишем основные результаты гл. 3, § 2 и 5, соответственно требованиям квантовой теории поля.
*) Для величин, возникающих при анализе теоремы Нётер, характерно суммирование по компонентам сомножителей [см., например, (1.6.18)]. Если при этом берутся производные по операторам, то и умножение полученных символических выражений производится на операторы, которые занимают «опустевшие» при дифференцировании места (так, последнее соотношение можно исправить, обозначая «опустевшие места» точкой: (df/d SI) = SI- + -SI). Однако это позволяет лишь частично уйти от трудностей, не снимая проблемы, указанной здесь автором,— Прим. перев.
104
Глава 5
Полная вариация оператора лагранжевой плотности на основании (3.2.3) записывается как
AA = : щ Wq : + [:П°“«7а:], в + : щ (&SUQ-UQ, т1т): +
+ [: UaaAsUa :+lm: (Agma - UQaUQ, т):]. а, (5.2.1)
причем для полной вариации интеграла действия при новом понимании величины АЛ сохраняет силу уравнение (3.2.4):
AHZ = Ij АЛЛ. (5.2.2)
Vi
Сохраняет внешне свой вид (3.2.5) и формулировка принципа экстремума действия Гамильтона.
Исключая появление дивергенциального члена, можно придать определению (3.2.7) преобразования симметрии вид
AA = A(U0', Uv,i'Xv)-A{Ua, UsitUXi) = 0 (5.2.3)
(форм-инвариантность лагранжевой плотности). Для существенной вариации сохраняют силу те же формулы, которые имели место в классической теории, в частности формулы (3.5.11) — (3.5.13).
Дифференциальные законы сохранения (3.3.1) и (3.3.2) тогда имеют вид (60° = 0)
f.a = [eQr:UQaUr-.].a = 0, (5.2.4)
[: UaaAsUn + Im (Agma -UaaUa, ш) + Ola :]. „ = 0. (5.2.5)
Лаконический тензор энергии-импульса (3.3.6) принимает вид
(кэн)у а_ . —С/0>,; — Agta. (5.2.6)
auQ, а
Здесь А продолжает пониматься в смысле нормального произведения. Величины (3.3.5) записываются в виде
*тйор Tm
Yn IfaSa tUT:. (5.2.7)
Непрерывные симметрии в квантовой теории
105
Эти выражения привлекаются для построения симметричного тензора энергии-импульса, который сохраняет здесь внешне обычную структуру (3.3.9а)
Ti = (KaH)7l5i + gsk {sskim + ^ikm + eymihy ^ (5 2_8)
Подобным же образом остаются внешне неизменными и оба определения тензора момента импульса (3.3.10) и (3.3.15)
jymni___1_ ^,кш)гртг^п_(кан^пі^т 2аІ?ІПт) (5 2 9)
