Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Dmni=L(TrniXn-JtniXm). (5.2.10)
Формально на квантовый случай можно перенести и запись дифференциальных законов сохранения энергии и импульса (3.3.7) и (3.3.96), а также момента импульса и закона центра масс (3.3.11) и (3.3.16):
a) iwa^Thiii = O, б) Thili = O, (5.2.11)
a) Dmniii = O1 б) Dmniii = O. (5.2.12)
Интегральные законы сохранения 4-импульса и момента импульса (вместе с законом центра масс) выглядят, как прежде:
*) ^ = б) ^ = 0' <5-2-13)
Сохраняющиеся величины имеют при этом знакомый вид, будучи, однако, построены по правилу нормального произведения операторов:
Ps=-L j ^TsWbx=-L j TsWЗ'х, (5.2.14)
»4=COnSt »4=COnSt
Du= j Dilid(3)x = j Dilid{3)x. (5.2.15)
Ж-I=COnst K-I=Const
Точно так же и для сохраняющейся величины типа заряда (3.4.21)
Q = -L-^jidft= J Pd(S)3, (5.2.16)
Vз Ж-I=COflSt
имеет место интегральный закон сохранения в обычной форме (3.4.22)
-g-=0. (5.2.17)
106
Глава 5
§ 3. Конечное унитарное преобразование
Рассмотренные нами до сих пор преобразования можно связать с унитарными преобразованиями квантовой теории поля, причем полевой оператор Uq и вектор состояния
I Ф) или <Ф I преобразуются с помощью унитарного оператора tt = (U+)-1:
Uq = UUqU+ (5.3.1)
и
I ф) = U I Ф> или (Ф| = (ФЩ+. (5.3.2)
Отсюда непосредственно видно, что скалярное произведение, состоящее из кет- и бра-векторов, инвариантно относительно унитарного преобразования:
<?|Ф> = <Y^). (5.3.3)
Часто особый интерес представляют те унитарные преобразования, оператор которых постоянен в пространстве и времени:
Utin = O, (5.3.4)
что, в частности, имеет место, если U строится из сохраняющихся величин. Тогда из (5.3.1) следует, что частная производная полевого оператора подчиняется тому же закону преобразования, что и исходный оператор:
Uq, т = UUq, mU+. (5.3.5)
Функциональная структура (5.1.4) лагранжевой плотности приводит тогда к равенству
A = UA(t/Q, Uq, г, ^) U+= A (Uq, Uq, и х% (5.3.6)
т. е. к форм-инвариантности лагранжевой плотности. Интегрируя это равенство по 4-объему, получаем
U( j (Ua, Uq, і, zV4)*)U+= j A (U0, Uq, и х')#*х.
V4 V4
Отсюда путем варьирования (оператор tt как константа движения не подвергается варьированию) находим
tt( j SA (Ua, Uq, и Zi)^) U+= j 6A(U0, UQ, u **)d‘«*.
V4 V4
Непрерывные симметрии в квантовой теории
107
Вследствие соотношения
Wa = U6f/2U+
условия на границе продолжают выполняться и для преобразованных величин, так что для них сохраняет силу и принцип Гамильтона. Это приводит к использованию прежней лагранжевой плотности в уравнениях Лагранжа для преобразованных величин:
6Л (U0, Ua ¦, Xі)
v а’_а’г'—: = 0. (5.3.7)
6uSi
Следовательно, уравнения поля имеют одинаковый вид в обеих системах переменных.
Сравним теперь соотношения (5.3.1) и (5.3.5), справедливые для унитарных преобразований, с соответствующими соотношениями для преобразований симметрии. Это приводит к отождествлению
Ua = Uq (Xі) = UU0 (Xі) U+ = Ua. (Xі), (5.3.8)
^Ugr (Xі) дх*
(5.3.9)
Здесь необходимо помнить о расстановке аргументов и штрихов. Тогда из преобразования симметрии (5.2.3) следует равенство
A (Ua(Xv), Ucti і (Xі'), Xі') = A (Ua (Xі), Uati(Xi), Xі),
т. е.
UA (Uci (Xі'), Uq, і (Xі'), Xі') U+ = A (UQ (х% UQ, t (яг*), Xі),
что записывается в виде
UA(Zij)U+ = A(Zi). (5.3.10)
Итак, для преобразований симметрии имеем
[U, Л (ж4)] ф 0. (5.3.11)
Uq, і = Uat г (Xі) = UUа, г (xl) U+ = Ua>, v (х1) = ¦
108
Глава 5
§ d. Бесконечно малые унитарные преобразования
Бесконечно малые унитарные преобразования описываются инфинитезимальным оператором SS, связанным с tt соотношением
U=l + iSS. (5.4.1)
Так как оператор U унитарен, оператор 23 должен быть эрмитовым:
SS = SS+. (5.4.2)
Отсюда имеем
U+=I — ЙВ. (5.4.3)
Из (5.3.1) и (5.3.2) следуют трансформационные свойства при бесконечно малых преобразованиях:
U0 = Ua +Ц^, U0], (5.4.4)
|Ф) = |Ф)-|-і35|Ф), или (Ф I = (Ф | — і (Ф |S. (5.4.5)
В гл. 2 § 1 мы рассмотрели в нерелятивистской механике материальных точек канонические (в частности, бесконечно малые) преобразования. Теория канонических преобразований может быть построена и для квантовой механики или квантовой теории поля. При этом, однако, внешне лоренц-ковариантность аппарата нарушается вследствие выделения времени. Фигурирующий в таком подходе бесконечно малый генератор I связан с инфинитезимальным оператором SS равенством
(5.4.6)
что приводит к следующей записи законов (5.4.4) и (5.4.5): Ua = U0-JiI, U0], (5.4.7)
или
|ф> = |ф> —у/|Ф), или (ф| = (ф| + 1(ф|/. (5.4.8)
Непрерывные симметрии в квантовой теории
109
Рассмотрим теперь специально унитарные преобразования, для которых 23, а значит, и I суть константы движения [в механике преобразования симметрии (2.1.32) и (2.1.33) обладали этим интересным свойством и приводили к постоянному во времени бесконечно малому генератору (2.1.35)1. Пусть I строится из некоторой плотности J по правилу
