Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
I (KaH)r І (кан)/ті ; , (Kan)r ( (кан)Т Irr \
"Г J- mjgt J тпіь] "Г 1 I Sim— J І Sjmft /g tj
іґ\ г п T-vmn.1t • у- ( rvm.nl rvmnl , r\m. I n ' '
U, jxt — Ut tXj = -L [Dij, U]. (5.5.8)
Для вектора Uk ввиду равенства
Ssfij~^Shlij = L(gkigjl~ghjgtl) (5.5.9)
соотношение имеет вид
ghiUj — gkjUi + Uk.jXt — UktiXj = -L-IDij, Uk]. (5.5.10)
a) [Dtj, ^TJ] = ih Єаа)Тт\ JXi - <кан>Гт‘, tXj +
б) [Dij, Dmnl] = ih{Dmnl,jXi - DmnltiX; + DmJ1gtn-
- DmIgp + DmnJgi1 - Dmnigj1 + Djnl gim - DnlgJm).
114
Глава 5
Отсюда при соответствующем интегрировании получаются коммутационные соотношения для сохраняющихся величин:
а) IQ, Pt] = 0, б)[<?, AnnI = O; (5.5.14)
а) [Pt, PА=0,
б) [Pi, Dmn] = ifl (Pmgni — Pngmi)',
[^ij, Dmn] = Ih {Dmjgni 4" Djngim -f- Dimgnj -(- Dnigmj}-
(5.5.16)
Мы воздержимся здесь от расщепления индексов на пространственные и временнйе.
В приведенных расчетах потребовалось принять условие
8цАптЄлт = ЗлТптЄаА- (5.5.17)
§ 6. TIриложение к физическим полям и к квантовой механгіке
В этом параграфе мы переведем на язык квантовой теории поля результаты, полученные в гл. 3, § 5 для конкретных систем классических полей. Кроме того, мы обобщим на случай квантовой механики набросок классической механики, данный в гл. 2, § 1.
А. Система, состоящая из максвелловского и клейн-гордоновского полей
Лагранжева плотность (3.5.1) записывается в виде
1 Й2 Г
A =-Ir-.BmnBmn:
L: (Ф+' т + ІаАтФ+) х
Х(Ф’т-іаЛгаФ):+^|Р-:Ф+Ф:] . (5.6.1)
4
2Г2
Симметричный тензор энергии-импульса (3.5.3) принимает вид
ТУ = : BsmBmi: + I gj : BmnBnn: -№
{ : (Ф+,. + iaA,Ф+) (Ф -1 - IaAiФ) : +
ЁепрершНые симметрии в квантовой теории 115
+ : (Ф+’1 + IaAiФ+) (Ф., — iaAJb): —
- gj [: (Ф+• m + іаАтФ+) (Ф, п - іаАтФ): +
+ ^:Ф+Ф:]}, (5.6.2)
причем плотность (электрического) 4-тока (2.3.7), удовлетворяющая уравнению непрерывности (3.5.2)
Л ft, (5.6.3)
записывается в виде
^=2^[:Ф+Ф’І_Ф+’ІФ_1ІФ+Ф^i:] ' (5-QA)
При этом нужно иметь в виду, что максвелловское поле в отличие от поля Клейна — Гордона эрмитово:
а +__А
"771 - "771*
Такое упрощение картины имеет место ввиду выбора вещественной метрики с сигнатурой (+, —), т. е.
использования галилеевых координат. В координатах Минковского положение усложняется ]).
Заметим еще, что нормальное произведение для свободного поля Клейна — Гордона Ф, представимого в виде
Ф = А + B + (5.6.5)
(слагаемые AnB+ обладают соответственно свойствами оператора уничтожения и оператора рождения), вследствие бозевского характера этого поля удовлетворяет следующим соотношениям:
: Ф (хх) Ф+ (у1): = A+ (ух) A (Xі) -J- А (х1) В (у*) -J-
+ B+ (Xі) A+ W) + B+ (Xі) В (у% (5.6.6)
: Ф+ (г/1) Ф (Zi): =- A+ (у1) А (Xі) -J- В (у{) А (Xі) +
+ A+ (у1) B+ (Xі) + B+ (Xі) В (у% (5.6.7)
: Ф (Xі) Ф (у1): = Ф (Xі) Ф (Izi), (5.6.8)
: Ф+ (Xі) Ф+ (Izi): = Ф+ (Xі) Ф+ (у4). (5.6.9)
1J Под координатами Минковского автор понимает систему, в которой временная координата мнимая.— Прим. перев.
116
Глава 5
Для свободного максвелловского поля, представимого в виде Am = Jbm, +Jbт+, (5.6.10)
нормальное произведение записывается в виде • Am (Xі) An (у1): = Jbm (Xі) Jbn (у1) + Jbm (Xі) Лп (у*) +
+ Jtn* (У1) Am {Xі) + Jm+ (Xі) Jn+ (Vі)- (5.6.11)
Б. Система, состоящая из максвелловского и дираковского полей
Перепишем лагранжеву плотность (3.5.4) в виде
Л= —1: BmnBmn :-Ц- {:. ЧУ (?, k- ta4A?):-
-:(W,k + iaAhW)ykW:+^^: W:} . (5.6.12)
При этом сопряженный биспинор равен 1F = ?+j3, где через Y+ обозначен эрмитово сопряженный биспинорный оператор. Для симметричного тензора энергии-импульса
(3.5.7) получим теперь выражение
rp __ .D Dffl .1 I _ . D Dmn .
і ij — • Г>ітГ> j • + ~? Si] ¦ І>тпі> •
{уі (?. і - iaAjW) + у, (W, t - IaAiV)] : -
- : {(?, г + IaAiW) у} + (?. j + IaA3-W) Уі} ? (5.6.13)
Плотность электрического 4-тока (2.4.11), удовлетворяющая уравнению непрерывности, записывается здесь как
jk = iec:WykW: . (5.6.14)
Для свободного дираковского поля, представимого в виде
W = A + B\ ? = Jb+ + 3§ (5.6.15)
(использована обычная символика), ввиду фермиевского характера этого поля нормальное произведение удовлетво-
Непрерывные симметрии в квантовой теории
117
ряет соотношениям
: Wa (Xі) Yp (yi): = - Jf (уг) Aa (Xі) + Ва+ (Xі) Jf (у*) +
+ Aa(Xi) .%$(у{) + Ва+(х{)$р(у1), (5.6.16) : xFp (i/^) Yct (Xі) \ = Jf (у1) Aa (Xі) + 3?р (у1) Aa (Xі) +
+ Jf W) Ва+ (Xі) - Ва+ (Xі) (у% (5.6.17) : Wa (Xі) Y3 (yi): = Ya (Xі) Y3 (у% (5.6.18)
: Wa (Xі) Yp (у*): = Ya (Xі) Yp (у% (5.6.19)
Использованные здесь строчные греческие индексы нумеруют компоненты биспиноров и пробегают значения от 1 до 4.
В. Нерелятивистская квантовая механика
Гейзенберговское представление
Для операторов координат Oa и операторов импульса $|3А, как известно, справедливы гейзенберговские перестановочные соотношения
а) [Qa, QbI=O, б) [$А, $в] = 0,
в) [Qa, Ов] = Шав. (5-Ь,Д))
