Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Xі’= Xi-^aiJXiа1, (3.1.9)
где а* — бесконечно малая величина, заменившая а1'.
Из общего числа 16 коэффициентов Лоренца Aji' 10 коэффициентов не являются независимыми вследствие условий (3.1.4), так что остается всего 6 степеней свободы.
74
Глава З
Их можно явственно усмотреть в шести друг от друга не зависящих величинах
Ot12, сЛ), K14, Ct23, а2 4, а34,
называемых бесконечно малыми параметрами лоренцевых поворотов.
Введенные таким образом 6 степеней свободы описывают:
3 степени свободы — чисто пространственные повороты,
3 степени свободы — пространственно-временные повороты (равномерное поступательное движение).
К этому следует добавить еще 4 степени свободы, соответствующие пространственно-временным сдвигам:
3 степени свободы — пространственные сдвиги,
1 степень свободы — временной сдвиг.
'§ 2. Теорема Нётер
Приведем сначала общерелятивистские выражения к случаю галилеевых координат, подчеркивая при этом самые важные детали рассуждений.
Из сравнения (1.1.1) и (3.1.9) получаем
?* = оИ/ж* + а*> (3.2.1)
так что
и Є., = 0. (3.2.2)
Поэтому полная вариация лагранжевой плотности (1.1.10) принимает вид
ДА = бUa + InaaSCZs2], a + ^- (Д,U0-Ua, тГ) +
+ [П0аД8С/а + Im (Agma - ПйаС/й, т)1. а, (3.2.3)
причем вместо (1.1.14) для полной вариации интеграла действия имеем
AJF=I j АМ^х. (3.2.4)
Vi
Непрерывные симметрии в частнорел. класс, теории поля 75
Принцип экстремума действия Гамильтона (1.2.1) записывается теперь в виде
SPF = IJ 6Ad(i>x = O при бС/я|(у4) = 0 (3.2.5)
и приводит к уравнениям Лагранжа
Ж-=Ш—(игМ =0 ^3-2-6)
sUq ^ d^Q, а ',а
вместо (1.2.7).
Соотношение, определяющее понятие преобразования симметрии, имело ранее вид (1.3.1); теперь оно записывается как
A (Ua-, Ua', а’, ха') = A (Ua, Ua, а, ха)-Oa, а, (3.2.7)
где
0“ = 0“ (UQ, Uq, Xb), так как метрическое поле уже отсутствует.
Бесконечно малые преобразования симметрии (1.3.2) теперь принимают вид
АЛ + 0а,а=О. (3.2.8)
Отсюда с помощью (3.2.3) можно получить также
+ [nQa6t/q], a + (AsUa - Usi, т1т) +
+ [UaaAsUa + Im (Agma - YiaaUа,т) + 0а]. „ - 0. (3.2.9)
Ввиду независимости координатных и функциональных преобразований друг от друга это соотношение расщепляет-с і на составные элементы теоремы Нетер-.
76
Глава З
§ 3. Дифференциальные законы сохранения
Оба только что полученных слабых закона сохранения при учете уравнений полей (т. е. для реального хода эволюции последних) переходят в слабые дифференциальные законы сохранения
[nQo6t/Q + S0a].a = O, (3.3.1)
[nQaAs?/g + Im (Agma - ПйаС/Я,т) + ©Г], а = 0. (3.3.2)
Начнем их исследование со второго соотношения. Подставим в него выражение (1.4.46), в котором здесь положим Soa = 0 и вследствие (3.1.8)
Sarba = -Spr06 = const. (3.3.3)
Используя также выражение (3.2.1), имеем
атп [Xn (Agmi - IfliUа, m + Ogm1) - Tl-iiSc1^mUr], , +
+ ah [Agh1-IfiUath +OghiIi = O. (3.3.4)
Полагая в дальнейшем 0 = 0 и используя сокращение (1.6.32)
SSatm = Il9jlSovmlUv = - SSamt (3.3.5)
[такая антисимметрия следует из (3.3.3)], а также обозна-
чение
(кан )Та = дА (_ Aga (3_3б)
auQ, а
для канонического тензора энергии-импулъса, следующее здесь из (1.6.18), находим
аНкт1)Тк\г + атп [^TmiXn-SSimnI і = 0.
Отсюда в силу антисимметрии коэффициентов Лоренца
(3.1.8) следуют равенства
(канун ( = 0 (3.3.7)
и
[(кан)2,ті;гп_(кан)у1гі;гш + 2SSinm], t = 0. (3.3.8)
Непрерывные симметрии в Частнорел. класс, теории поля Tl
Первое из них является вариантом (1.6.21), а второе — частнорелятивистской версией (1.6.40). Мы констатируем: Сохранение энергии и импульса есть следствие пространственно-временных сдвигов, причем
Gtti (пространственный сдвиг) -> сохранение импульса,
а4 (временной сдвиг) ->- сохранение энергии.
Сохранение момента импульса и закон центра масс суть следствия инвариантности при пространственно-временных поворотах, а именно
(^(пространственный поворот) —
-->сохранение момента импульса, а4^(равномерное поступательное движение) -> закон центра масс.
Смысл этих заключений станет еще понятнее из дальнейшего, особенно из анализа интегральных законов сохранения.
Симметричный тензор энергии-импульса на основании
(1.6.34) вследствие антисимметрии (3.3.5) приводится к виду
Ti = (KaH)jsl + ^ {Мыш + SSikm+Mmih). т. (3.3.9а)
Прямым дифференцированием можно удостовериться, что эта величина также удовлетворяет равенству
77, г = 0. (3.3.96)
При этом мы вновь воспользовались антисимметрией
(3.3.5).
Определим тензор момента импульса как
jymni . 1 ^(кан)уттг^,та_(каи) _|^ 2SSinm)= _jjnmi g
Тогда соотношение (3.3.8) можно истолковать как локальный закон сохранения момента импульса (вместе с локальным законом центра масс):
Dmniii = 0. (3.3.11)
Может оказаться полезным также разложить тензор момента импульса на орбитальную
(орб)jjmni __ J_ ^(кап) (кап) 3 J2)
78
Глава S
и не зависящую от координат спиновую части
