Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Шмутцер Э. -> "Симметрии и законы сохранения в физике" -> 31

Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.

Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике — Москва, 1974. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriiizakonisohraneniya1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 42 >> Следующая

Для оператора вида

И = И (CtA, «Pa, 0 (5.6.21)

имеет место гейзенберговское уравнение движения

•ж=4г + ж^яь (5-6-22>

К этому уравнению мы пришли уже в квантовой теории поля (5.5.7). Если подставить в качестве St конкретные операторы Oa, 5рЛ и Н, получим' отдельные уравнения движения

^ = -^[йл,Я(ад,5&л, t)), (5.6.23а)

Я(0Д, 5}Ss,f)], (5.6.236)

dH дН /ч R 9/\

-W = It- (5,6.24)
118

Глава 5

Для произвольного вектора состояния | Ф) справедливо уравнение движения

*W=0. (5.6.25)

Оператор Гамильтона H и оператор Лагранжа L связаны между собой соотношением

L (О*, La, t) = Yi -H (Qa, $д, t) (5.6.26)

А

(точкой обозначена полная производная по времени). Принцип Гамильтона

б j L dt = 0 (6Qa It2 = баЛ Ii1 = 0) (5.6.27)

*1

приводит к уравнениям Лагранжа

6L dL d / SL \ =0_ (5.6.28)

6Qa д&А dt j Q^a

По аналогии с классической механикой (см. гл. 2, § 2) можно ввести канонические преобразования. При переходе к бесконечно малому каноническому преобразованию мы приходим к инфинитезимальному генерирующему (производящему) оператору I, удовлетворяющему по аналогии с (2.1.23) уравнению

#=¦?+* і'-*]¦ ^5-6-29)

Подгоняя друг к другу бесконечно малые каноническое и унитарное преобразования в смысле (5.4.1), получим уже записанное как (5.4.6) соотношение

58=-1-/. (5.6.30а)

Для случая системы материальных точек при наличии лишь внутренних сил величина I становится сохраняющейся и принимает вид

/=- а 2 fo-fcff-b S(CeX^o)-

й Q

$0-S ^qQq), (5,6.306) 8 P
Непрерывные симметрии в квантовой теории

119

подобный (2.1.35). В этом выражении индекс й нумерует частицы системы. Векторные обозначения (стрелка) служат для объединения компонент, принадлежащих всякий раз одной данной частице. Это выражение в точности соответствует конструкции (5.4.23) при ее сведении к случаю механики.

где унитарный оператор tt определяется дифференциала ным уравнением

осуществляется переход от гейзенберговского к шрёдин-геровскому представлению. В последнем представлении гейзенберговские перестановочные соотношения сохраняют привычный вид

уравнения движения для операторов принимают вид

(5.6.31)

HU = ih или ПН = іП^-, (5.6.32)

а) (CU, Db] = 0, б) [$д, $в] = 0,

в) [Од, = гТгбдВ,

__ аа dt dt ’

(5.6.34)

а уравнение движения для произвольного вектора состояния сводится к уравнению Шрёдингера
ГЛАВА 6

ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И В ЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 1. Общая теория

В гл. 4, § 1, мы рассматривали несобственные преобразования Лоренца. Так как там не делалось никаких предположений о природе полевых функций, все сделанные выводы можно перенести без каких-либо ограничений на квантовую теорию поля. К несобственным (дискретным) преобразованиям Лоренца в квантовой теории поля добавляется еще одно важное дискретное преобразование, чуждое классической теории, а именно преобразование зарядового сопряжения (переход от частиц к античастицам). Так как характерным элементом квантовой теории поля является учет частиц и античастиц как квантов данного поля, зарядовое сопряжение представляет собой специфическую операцию квантовой теории поля.

Ниже дается общее изложение теории дискретных симметрий.

В ходе квантового обобщения непрерывных преобразований нас интересовали унитарные или антиунитарные преобразования U, так как они обладают важным свойством оставлять инвариантными вероятности переходов. Этого требования следует продолжать придерживаться из физических соображений. Значит, оператор U должен описывать преобразование симметрии; при этом, согласно

(5.3.10), выполняется соотношение

UA {Xі') U+ = A(Zi). (6.1.1)

Приняв равенство (5.3.4)

U,m = 0, (6.1.2)

мы еще прежде могли установить форм-инвариантность уравнений движения. Пусть это предположение сохраняет силу и для дискретных преобразований.
Дискретные симметрии в квантовой теории

121

Рассмотрим сначала унитарный оператор И, записав его в виде

U = eiffi}, (6.1.3)

где оператор 2В должен быть эрмитовым, чтобы обеспечить унитарность И:

28 = 28+. (6.1.4)

В самом деле, отсюда следует

U+ = ^-*®* т. е. UU+=I.

Требование (6.1.2) влечет за собой следующее условие для 2В:

ЯВ.т = 0. (6.1.5)

Итак, мы имеем постоянный эрмитов оператор 28, который должен быть связан с физическими сохраняющимися

величинами. Сравнение с выражением (5.4.1) показывает,

что в случае непрерывных преобразований будет просто

28 = 25. (6.1.6)

Оператор 28, будучи эрмитовым, обладает вещественными собственными значениями. Соответствующее уравнение для собственных значений имеет вид

28 IIV) = w I w), (6.1.7)

где, таким образом,

w = w*.

Если собственные значения оператора 28 равны W = 0, ±я, ±2я, . . ., то и оператор U в силу равенства

U I w) = ег^ I w) = егп>\ w) = ± I w) (6.1.8)

обладает вещественными собственными значениями,

а именно +1. В этом случае можно даже путем повторного умножения на U показать, что
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 42 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed