Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Y = Zexp (i ip) .
Ввиду (4.2.43) обращение времени дает
а) х^' (t') = xv(t), б) t'——t,
в) pw (О = — Pil (г), г) Pi' (t') = pk (t). ^4-2-44)
Так же преобразуется и механический импульс, если принять во внимание (4.2.11).
При этом закон преобразования тензора момента импульса (4.2.41) можно записать в виде
<Vv' (О= -dIiV(0- (4.2.45)
Ввиду инвариантности уравнений движения относительно обращения времени величины
XV-' (t) = xv-( — t) и Pll, (t)=— PlL( — t)
будут также решениями этих уравнений, если только такая инвариантность не нарушается внешними воздействиями.
ЧАСТЬ В
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ГЛАВА 5
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ В ЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1. Классическая и квантовая теория поля
В этой главе мы рассматриваем на базе квантовой теории поля принципиальную сторону постановки вопроса, изложенной в гл. 3 для случая классической теории поля. Тем самым гл. 3 и 5 дополняют друг друга. Мы попытаемся здесь как можно больше приблизиться к подходу, использованному в гл. 3, хотя и столкнемся вскоре с определенными трудностями. Так как в гл. 3, § 1, не делалось никаких специальных предположений о с- или д-числовом характере волновых функций при рассмотрении собственных преобразований Лоренца, мы можем полностью перенести сюда результаты этого параграфа.
В любой классической теории входящие в нее зависимые переменные удовлетворяют аксиоме перестановочности и являются, таким образом, с-числами, к чему нас приучили ньютонова механика и классическая теория поля. В квантовой теории, как известно, имеет место отказ от этой аксиомы. Основные зависимые переменные, вообще говоря, уже не коммутируют друг с другом и поэтому называются g-числами, или операторами. Выражения для коммутаторов или антикоммутаторов многих из них имеют характерный вид и не обращаются в нуль. Такие соотношения, называемые перестановочными, встречаются как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля;
106
Глава 5
они имеют характер законов природы и фигурируют наравне с уравнениями движения.
Известно, однако, что измеряемые значения величины должны выражаться вещественными числами. Поскольку операторы квантовой теории, которыми, вообще говоря, представляются физические величины, не являются вещественными числами и поэтому не могут быть непосредственно измерены, квантовая теория нуждается еще в одном фундаментальном понятии, служащем для сопоставления операторам вещественных чисел. Речь идет о понятии вектора состояния в гильбертовом пространстве, который обозначается как
кет-вектор |Ф) (кет-пространство),
которому через операцию эрмитова сопряжения (+) сопоставляется дуальный ему вектор состояния, а именно
бра-вектор (Ф I = |Ф)+ (бра-пространство).
Скалярное произведение векторов двух различных состояний есть комплексное число
<?|.|ф> = <?|ф>.
Если рассматриваемая квантовая теория допускает вероятностную интерпретацию, то произвольное состояние нормируется по правилу
(Ф I Ф) = 1 (положительно определенная метрика).
(5.1.1)
Некоторому произвольному оператору 21 по правилу
(Yiaix) = O (5.1.2)
сопоставляется комплексное число а, так как величина
I Ф) = St |х) имеет природу кет-вектора. Если наш оператор эрмитов, то конструкция
<Ф|Я|Ф) = а = а* (5.1.3)
есть вещественное число. Эрмитов оператор, соответствующий физической величине, поддающейся наблюдению, называется наблюдаемой.
В нерелятивистской квантовой механике основные наблюдаемые суть
оператор положения (координаты) Oa
Непрерывные симметрии в квантовой теории
101
И
оператор импульса Из них строится оператор Гамильтона (гамильтониан) Я = Я (CU, t),
причем время t фигурирует как параметр.
В квантовой теории поля нам приходится иметь дело с системой независимых полевых операторов
иА(х^ (А = 1,2,...)
— основных в этой теории величин. Галилеевы координаты Xі играют здесь роль параметров. Если теория поля формулируется таким образом, то говорят, что она локальна в противоположность нелокальным теориям поля, формулируемым различными способами, например с построением функционалов путем интегрирования и т. п.
В определенном смысле имеет место формальное соответствие
t -v Xі,
QА (г) -V иА (Xі) = иЛ (х*, t).
Последнее соотношение может быть истолковано как подход к квантовой теории поля как к квантовомеханической системе с несчетно-бесконечным числом степеней свободы ввиду непрерывного характера координатного пространства, описываемого координатами хі*.
Так как, вообще говоря, иА+ ф иА (если задача не сводится к частному случаю эрмитова поля), часто бывает целесообразно рассматривать совместно полевые операторы и эрмитово сопряженные им операторы г):
{Ua} = {uA, иА+}.
Индексы Q, Г, Л меняются в пределах размерностей пространства полевых операторов и соответствующих эрмитово сопряженных операторов.
1J Очевидно, что комплексная переменная равноценна двум вещественным переменным, а так как комплексное сопряжение не является линейной операцией, то получающееся удвоение числа степеней свободы удобно отразить в указании исходной комплексной переменной и сопряженной ей. Положение совершенно аналогично в случае применения эрмитова сопряжения.— Прим. перев.
