Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Причины математического характера могут поставить границы возможности осуществления этого требования; примером может служить поведение уравнения Вейля при пространственном отражении. G проявлением такой ситуации мы сталкиваемся при необходимости отказа от тех или иных законов сохранения (см., например, [4]).
Что означает, говоря наглядно, форм-инвариантность основ какой-либо теории относительно пространственного отражения или обращения времени? Дадим на это следующий ответ.
Если физическое явление инвариантно относительно пространственного отражения, значит, два физика, один из которых пользуется левой системой координат («левша»), а другой — правой («правша»), при описании этого явления придут к одному и тому же выражению для соответствующего закона природы.
Если физическое явление инвариантно относительно обращения времени, значит, при задании обращенного во времени конечного состояния в качестве нового начального состояния и новом протекании процесса в качестве конечного состояния возникает обращенное во времени начальное состояние старого процесса. Выражаясь на языке киномеханика, можно сказать, что физическое явление инвариантно при обращении времени, если демонстрация фильма об этом физическом явлении в обратном направлении соответствует тому, что возможно в рамках того же явления.
Очевидно, что инвариантность относительно обращения времени нарушается при участии необратимых процессов (например, если присутствуют эффекты трения).
Дискретные симметрии в класс, теории поля и механике 91
А. Система, состоящая из максвелловского и клейн-гордоновского полей
Целесообразно записать лагранжеву плотность (3.5.1) в трехмерном виде
X Гф* „Ф'"_____+
с2 dt dt T %2
+ •T А^~ ФР+ ^Г Ф2) ф*ф- (4-2.1)
Тогда из (2.3.7) определяются
3-вектор плотности электрического тока
и
1 -d
плотность электрического заряда р = —у4.
Кроме того, имеют место соотношения1)
1 дАи
Ell =—Ф,ц—-—gf~ ’ Bi = A3l2 A2,з и т. д. (4.2.2)
Будет показано, что теория полей Максвелла и Клейна — Гордона инвариантна как относительно пространственных отражений, так и относительно обращения времени.
Пространственные отражения
Чтобы упростить исследование, мы будем как здесь, так и повсюду в дальнейшем рассматривать пространственное отражение (г) (см. § 1).
х) Вводя поле монадных векторов та, единичных и касательных к конгруэнции линий физического времени рассматриваемой системы, а также используя операцию дуального сопряжения Bfnn = = V2^abeabmn, можно просто определить напряженности электрического и магнитного полей относительно этой системы отсчета как
Em = Bmnxn и Вт=—В™п хп.
Хотя здесь записаны 4-векторы, их временные компоненты в рамках подхода этой главы тождественно равны нулю, пространственные же даются выражениями, совпадающими (с 4.2.2),— Прим, перев.
92
Глава 4
Из определения 4-скорости, а именно Ui = dx4dx, следует
и^' = —uv-, ик' = U4. (4.2.3)
Постулируя инвариантность собственной (т. е. взятой в состоянии покоя) плотности электрического заряда:
Po = Po, (4.2.4)
получаем законы преобразования плотности конвекционного электрического тока (конв) Ji = р0и1 и плотности электрического заряда р
а) (конвои' = _ (KOHB)y-M., 6)p'=P (4.2.5)
(плотность электрического тока проводимости мы здесь рассматривать не будем). Таким образом, для интеграла по нечетномерному объему можно установить операцию пространственного отражения — электрический заряд является инвариантом:
Q' = Q. (4.2.6)
Из требования инвариантности для (4.2.1) получаем
Aw=-Avi, Ф' = Ф- (4.2.7)
Отсюда ввиду (4.2.2) следуют соотношения
Ew=-Ev., Bw = Bil, (4.2.8)
так что напряженность магнитного поля ведет себя как псевдовектор (аксиальный вектор).
Затем из (4.2.1) и (2.3.7) при учете (4.2.5) находим следующий закон преобразования волновой функции:
а) Ф' (^i') аРФ (^i), б) Ф*’(Xі') = аР*Ф* (х{); (4.2.9)
здесь аР— константа, аР*аР = 1.
Обращение времени
Из принципа соответствия с нерелятивистской теорией следует принять закон преобразования собственного времени
т' = -т, (4.2.10)
Дискретные симметрии в класс, теории поля и механике 93
из которого следуют формулы для преобразования 4-скорости
и^'=—и»-, и4'= U4. (4.2.11)
Требуя инвариантности собственной плотности электрического заряда
Pt/ = Po» (4.2.12)
получаем
(конв)уц' _ _ (конвои, р' = р, (4.2.13)
что дает для электрического заряда свойство инвариантности
Q' = Q. (4.2.14)
Из требования инвариантности для (4.2.1) получаем соотношения
Aw=-Av., Ф' = Ф, (4.2.15)
откуда вытекают законы преобразования электрической и магнитной напряженностей
Ew = Etl, Bw=-Bv. (4.2.16)
Из (2.3.7) следуют верные законы преобразования для
4-вектора плотности электрического тока, т. е. (4.2.13), если волновые функции преобразуются по закону
Ф'(ж*') = агФ* (Xі); (4.2.17)
здесь аТ — константа, ат*ат = 1. Таким образом, мы имеем перекрестное («антилинейное») преобразование для волновой функции.
