Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
I= j Я(х*)#*>х. (5.4.9)
X^=Const
Тогда в силу постоянства
Itm = 0 (5.4.10)
получаем из (5.4.7) выражение для частной производной полевого оператора
йа,ш = иа,т-(5.4.11)
Благодаря виду функциональной структуры (5.1.4) лагранжевой плотности находим отсюда
Л = Л-±[/, Л] = A (Ua, Ua, и Xі). (5.4.12)
В случае бесконечно малых преобразований ввиду (5.4.7) отождествление, даваемое соотношениями (5.3.8) и (5.3.9), записывается в виде
AUa = Uq (Xі) - Ua (Xі) = Ua. (Xі) - Ua (Xі) =
= ALUa + 8Ua=-±[I,Ua], (5.4.13) АІUatiZ* UQt і (Xі) - Ua, і (Xі) = UQ>t у (Xі) - UQ< t (*‘) =
= AlUq,i + WQ,і= -i[J, UQti]. (5.4.14)
Это дает
(AUa)t г = AUati (5.4.15)
в согласии с полученным ранее выводом, что локальная вариация перестановочна с операцией частного дифференцирования по координатам. Напротив, тот факт, что существенная вариация не коммутирует с частным диффе-
110
Pлава 6
ренцированием, можно толковать как указание на неравенство
Uq^=Uq' (х1'),
при котором подобное отождествление невозможно.
В своем дальнейшем анализе мы будем исходить из полной вариации интеграла действия (5.2.2), которой при удовлетворении уравнений поля и учете определений
(5.2.6) и (5.2.9), а также дальнейших соотношений, в частности (5.2.15), можно придать вид
Ш = Ь S [: nQi6t/e: + У DnJamn-(кан)Г/а^/г,
(V4)
(5.4.16)
если воспользоваться теоремой Гаусса. При островном распределении полей интеграл по охватывающей гиперповерхности обращается в нуль, и, вводя обозначение
5Г (F3) = ± j [: TliiiSUq : + у DnJamn - (кан)Г/aj] df„
(V3)
(5.4.17)
мы приходим к соотношению
AFF = W (F3) — W‘ (F3). (5.4.18)
Здесь F3 и F3 — пространственноподобные гиперповерхности-основания четырехмерной области. Используем теперь выражения (5.2.14) и (5.2.15), а также представление функциональной вариации в виде (3.3.23)
б Ua = IaearUr (5.4.19)
(а — постоянный бесконечно малый параметр, eQr— свободные коэффициенты) и плотность 4-тока (смысл которой будет пока открытым), заданную в виде
Ji — ieQr : ПЙІС/г:. (5.4.20)
Непрерывные симметрии в квантовой теории
Ill
Вводя соответствующую интегральную величину типа заряда знакомой формулой
Q = ^ \ Pdfh (5.4.21)
V3
получаем следующее выражение для W'.
W (F3) = a?Pj —гг amnDmn + aQ. (5.4.22)
Так как вследствие (5.2.3) для преобразований симметрии AW = 0, величина (5.4.22), согласно (5.4.18), будет сохраняться. Отсюда обычным образом следуют заключения
о сохранении импульса, энергии, момента импульса и заряда и о законе центра масс. Мы строили свои рассуждения, исходя из интеграла действия, так как этот путь привел к получению бесконечно малого генератора I в замкнутом виде. В самом деле, он связан с W' соотношением
I=-W= — о) P j + - j UmnDmn — aQ. (5.4.23)
Тождественное совпадение (с точностью до постоянного множителя) сохраняющейся величины, полученной из преобразования симметрии, и бесконечно малого оператора унитарного преобразования оправдывается связью между обоими видами преобразований, даваемой соотношениями (5.3.8) и (5.3.9).
§ 5. Hахожденне бесконечно малых унитарных преобразовании для полевых операторов и вывод перестановочных соотношении для сохраняющихся величин
Будем исходить из закона преобразования (5.4.13), переписанного с учетом (1.1.4) и (5.4.23) в виде
SUa-SaTnmUramn-UadV = =4[аiPl- LaiiDij +aQ, t/Q]
112
Глава 5
Отсюда с помощью (3.2.1) и (5.4.19) получаем три важных соотношения*)
eJUr = \[Q, Ua], (5.5.1)
U0ti=^-IPi, Ua], (5.5.2)
2SqtIjUг + (Uat jxt — Uat iXj) = -щ- [Dij, Uа]. (5.5.3)
Второе из этих соотношений представляет собой релятивистское обобщение гейзенберговского уравнения движения. Дифференцируя его, получаем
Ua, U = -JjrlPt, UatA-Поэтому для функции вида
Jk = Jk (Ua, UatU х%)
находим
Принимая і = 4 и учитывая связь Pi = —(1/с) H, где H — гамильтониан системы, получаем собственно гейзенберговское уравнение движения
<5-5-5>
Для интегральной величины
A = j Jd^x (5.5.6)
SCl=COnst
1J Эти соотношения в той или иной степени использовались ранее [24, 25]. В соотношении (5.5.3) удобнее брать не полный момент, а только спиновый, так как часть соотношения, обусловленная орбитальным моментом, выводится из (5.5.2). При этом достигается полная независимость соотношений друг от друга и их простота. Вместе с тем ха (4-координата или 4-радиус-вектор) не является вектором (тензором первого ранга) уже в плоском мире, что чревато затруднениями.— Прим. перев.
Непрерывные симметрии в квантовой теории
113
путем интегрирования находим соотношение
(5.5.7)
которое является аналогом в квантовой теории поля гейзенберговского уравнения движения квантовой механики.
Большой интерес представляет и соотношение (5.5.3). Рассмотрим его частные случаи для конкретных полевых операторов. В случае инварианта (скаляра) U имеем
Аналогично можно записать его и для тензоров высших рангов.
Исходя из общих основных соотношений (5.5.1) — (5.5.3), можно вывести ряд важных соотношений, в которых в состав коммутаторов входят те или иные сохраняющиеся величины. Приведем некоторые из них, ограничиваясь, однако, случаем лагранжианов, не зависящих явно от координат:
