Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
где в соответствии с (1.7.22) мы обозначили через
<кан)яц=----L(KaH)Ty (3.4.14)
каноническую плотность импульса. Таким образом, мы уже пришли к обобщению понятия орбитального момента импульса из механики.
G помощью (3.3.13) из (3.4.9) получаем
(Chhh)^v = j «®нн)Д^4й(3)а;==_2. j
3C4=COnst 3C4=COnst
(3.4.15)
Для многих целей полезно бывает ввести трехмерный момент импульса аксиального вектора
ф = (°Рб)ф + спин ф = i?)23 + {?)31 + IZ?la_ (3.4.16)
Теперь перейдем к закону сохранения AT)Iі4
^r- = O. (3.4.17)
Его можно подробно записать, используя введенную в (1.7.23) каноническую плотность энергии
(кан)^=^!)^ (3.4.18)
как
~їг j [—^г-Х>х—(кан)л+-|-(і44і,]л=о.
xi—const
Вводя определение центра масс
$
¦ x^d(3)x
---------* (3.4.19)
— d#)x
I
получаем отсюда
2
X^ -
с (кан;,„
- di3)x
J
<кан>ш
?2
Совершенно очевидно, что это и есть обобщенная запись знакомого из механики закона центра масс. Следует отм~-
Непрерывные симметрии в частнорёл. класс, теории поля 83
тить, однако, наличие здесь чуждого механике спинового члена, появления которого можно было бы избежать, используя определение тензора момента импульса в форме (3.3.15). Ho этот последний подход не вытекает из теории Нётер, а Следует из независимых рассуждений.
Покажем еще, что определение (3.4.7), основанное на (3.3.10), дает для интегрального тензора момента импульса то же значение, что и определение, основанное на (3.3.15). В самом деле, используя (3.3.5), получаем путем дифференцирования
Tii X1 - TliXi = <кан>г V - ^TljXi + ISiili -t-+ [(Siiim + Siiim + Slmii) X1 - (Silim + Siilm + Simil) Xі], т.
Это равенство можно записать и по-другому:
Dili = Dili + -i- [(^iim + Siiim + Simii) X1 -
- (^iim + SSilm + Sinil) Xі], т. (3.4.20) Полагая j = 4, можно свести суммирование по т. от 1 до 4 к суммированию по Ji от 1 до 3; тогда вследствие антисимметрии (3.3.5) получаем
Dili = Dm + [(S?ik[l + SSki* + Sillii) X1 —
- (SSlk11 + Sikl* + Sillkl) Xі], Ji.
При известных предположениях интегрирование по трехмерному объему от дивергенциального члена дает вклад, равный нулю, чем и достигается искомый результат.
В заключение остается лишь сказать несколько слов
о дифференциальном законе сохранения (3.3.25) величины типа заряда. По аналогии с предыдущим анализом, вводя определение
Q = -Jf j Pdfi- j рй(3)ж, P = -f;'4’ (3.4.21)
Уз X4=COiist
получаем интегральный закон сохранения соответствующей интегральной величины типа заряда
-2- = 0. (3.4.22)
84
Глава З
§ 5. Случаи конкретних физических полей
В гл. 2, § 3 и 4, мы исследовали два важных случая систем физических полей в качестве примеров приложения развитой теории, а именно:
1) систему гравитационного, максвелловского и клейн-гордоновского полей и
2) систему гравитационного, максвелловского и дира-ковского полей.
В настоящем параграфе мы перейдем в этих системах полей к частному случаю пространства-времени Минков-ского и галилеевых координат.
А. Система, состоящая из максвелловского и клейн-гордоновского полей
Лагранжева плотность этой системы следует из (2.3.1) и равна
A= -i- BmnBmn-^-[(Ф*,т+1аАтФ*) х
X (Ф’т — іаАтФ) -\—Г~^~~ Ф*ФJ , (3.5.1)
где а = elhc. Соответствующие уравнения поля даются соотношениями (2.3.2), (2.3.6), (2.3.14) и (2.3.15). Четырех-вектор плотности электрического тока сохраняет вид (2.3.7). Для него выполняется дифференциальный закон сохранения
Д * = 0, (3.5.2)
следующий из (2.3.23) и вытекающий из калибровочной инвариантности лагранжиана (3.5.1). Таким образом, в отличие от выводов общего анализа, проведенного в предыдущем параграфе, здесь речь идет о сохранении электрического заряда, определяемого формулой (3.4.21); соответствующий интегральный закон сохранения имеет вид (3.4.22).
Симметричный тензор энергии-импульса полной системы полей следует из (2.3.18) и имеет вид (для частнореля-
Непрерывные симметрии в частнорел. класс, теории поля 85
тивистской метрики)
Tsi = BsmBmi + І. ga* Bmn Bmn-~ {(Ф*. S 4- іаАД>*) X X (Ф’г — іаА1Ф) + (Ф*- * + іаЛ’Ф*) (Ф,8 — іаЛ8Ф) —
- gj [(Ф*’ т + іаАтФ*) (Ф, т - іаАтФ) +
+ ~|г~ф*ф] } • (3-5-3)
Б. Система, состоящая из максвелловского и дираковского полей
Лагранжева плотность этой системы следует из (2.4.1) при использовании (2.4.3) и (2.4.4):
Л = -4- BmnBmn - { WYfe (W, h - IaAhW) -
-(W,k + iaAhW) ykW + ^f- w}. (3.5.4)
Уравнения поля Максвелла имеют привычный вид (2.3.2) и (2.3.6). При этом 4-вектор плотности электрического тока дается выражением (2.4.11). У равнения Дирака имеют теперь вид
yk(W,h-iaAhW) + ^W = 0, (3.5.5)
(V,k + iaAhV) -^Lw = O. (3.5.6)
Закон сохранения электрического заряда описывается соотношениями (3.5.2) и следующими из них. Симметричный тензор энергии-импульса полной системы полей следует из (2.4.12) и имеет вид (для частнорелятивистской метрики)
Tu = BimBmj + ± guBmnBmn - -?- [ W {yt (Т. j - iaAjW) +
jT у j {W. і - iaA г?)} - {(?,, + іалг?) у} +
