Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
В теориях спинорных полей лагранжиан [см. (2.4.1)]
обладает принципиально иной структурой, чем в теории тензорных полей, а именно имеет вид
X = X (UQ, Usit i, Smm Smn, Ь Уті Ут, г, Xі).
Поэтому здесь становится неприменимой тензорная теория, изложенная в гл. 1, § 4, и кладущая в основу структуру лагранжиана
X = X (Ua, UQ1 ii gmni Smп, і, Xі).
Положение усложняется связью между матрицами Ym и метрическим тензором gmn, выражаемой соотношением
(2.4.2). Поэтому мы откажемся здесь от подробного воспроизведения расчетов, отсылая к полному анализу ситуации в [3].
Дифференцируя лагранжиан (2.4.1) и подставляя производные в уравнения Лагранжа
ЬХ =дХ / дХ \ _0
64 ~ дЧ \ OWtk /,& —
бX SX I SX \ п
SY дЧ WYfft /,ь ’
получаем уравнение Дирака
+ T = O
(2.4.7)
(2.4.8)
(2.4.9)
и сопряженное ему уравнение
70
Глава 2
Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе при выводе системы неоднородных уравнений Максвелла, находим для 4-вектора плотности электрического тока поля Дирака
Поле Дирака обладает тем интересным свойством, что лагранжева плотность этого поля для реальной его эволюции тождественно обращается в нуль в силу уравнений
В конечном итоге тензор энергии-импульса полного неметрического поля можно привести к виду
- PF (Ti?; J + і) - (V. т + Wi ф) П (2.4.12)
Из формы лагранжиана (2.4.1) видно, что существует еще одно (которое здесь также является единственным) непрерывное преобразование симметрии, не сводящееся к преобразованиям координат. Формально речь идет о тех же законах преобразования, которые ранее были записаны в виде (2.3.19), но здесь они приобретают новое содержание (% снова вещественная калибровочная функция):
Ai = Ai + ^, і, f = f = уе-(іе/пс)х (2.4.14)
или в инфинитезимальном случае (когда % бесконечно мала)
Jh = IecVyhW.
(2.4.11)
Дирака (2.4.9) и (2.4.10) *).
+ SijBmnB'
1
>тп
Его след равен
Tti = WioC21F1Jr.
(2.4.13)
(2.4.15)
х) Интересно также, что систему уравнений (2.4.9) и (2.4.10) легко решить алгебраически относительно электромагнитного 4-потенциала Am (см. [25]).— Прим. перев.
Приложения теоремы Нётер в механике и теории поля 71
Т. Є.
6Л, = х.1, W = W= -1-?. (2.4.16)
Подставим эти выражения в соответствующее соотношение Нётер (1.4.2), имеющее здесь вид
Г^-б? + б?4Д- + ^-б^Л =0, (2.4.17)
iW.k dAith tJth ' '
и получим после вычисления производных и подстановки обозначения (2.4.11) уравнение непрерывности
(Vgjh)lh = о, (2.4.18)
которое выражает дифференциальный закон сохранения
электрического заряда как следствие калибровочной инвариантности.
ГЛАВА З
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ В ЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Собственные (непрерывные) преобразования Лоренца
Группа Пуанкаре является основной группой преобразований координат в частной теории относительности. В нее входят как однородные, так и неоднородные преобразования Лоренца.
Мы будем пользоваться в дальнейшем галилеевыми координатами
X1 = х, X2 = у, ж3 =Z, Xі = ct, соответствующими метрике
/10 0 /010
(gik) = I о о 1
\о о о
откуда следует
^ift = Tlib = TU- (3.1.2)
В общем случае преобразования Лоренца, линейные по своей природе, могут быть записаны в виде
Xі' = AjvXi + а1', (3.1.3)
где постоянные множители Aji' = дх1’Idxj называются коэффициентами Лоренца. К этим коэффициентам сводятся однородные преобразования Лоренца (лоренцевы повороты). Добавочное постоянное слагаемое описывает пространственно-временные сдвиги (трансляции), и его наличие дает неоднородные преобразования Лоренца.
Так как преобразования Лоренца не меняют вида метрики, то из закона преобразования
^Tft
i<ft, = ох_ох_ тп (3.1.4)
s fom дхп s ' '
о\
0U(V), (3.1.1)
Непрерывные симметрии в частнорел. класс, теории поля 73
для них следуют дифференциальные уравнения
= С3'1'5)
Переходя к соответствующему уравнению для определителей, получаем
\ Amv I2 = I, или \Ат1'\ = ±1. (3.1.6а)
Собственные (непрерывные) преобразования Лоренца определяются условием
I Ат' I = 1 при ,I44'> О (ортохронностъ). (3.1.66)
При этом первое условие математически (но не обязательно физически) выделяет непрерывные преобразования, второе же обеспечивает сохранение исходного направления времени.
Тот факт, что метрический тензор форм-инвариантен относительно пространственно-временных сдвигов ((Xi'), истолковывается как однородность пространства-времени; форм-инвариантность же метрики при пространственно-временных поворотах (Aji') понимается как изотропность пространства-времени.
Для бесконечно малых преобразований Лоренца коэффициенты принимают вид
Aji' = g? jTUiI и Ajt = g}1 — (Xij. (3.1.7)
Если подставить такие бесконечно малые добавки OLij
к тождественному преобразованию в уравнение (3.1.4), определяющее эти коэффициенты, то мы придем к условию антисимметрии
a1 J= — а/, (3.1.8)
в котором использованы стандартные правила перестановки индексов. При этом собственные преобразования Лоренца (3.1.3) принимают вид
