Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
и S = {Dlt Dk\ - некоторое разбиение. Подобно тому как для | по
вероятностям Р (ЛД j- 1, 1* было определено
математическое ожидание
i
М6= _? (8)
; = 1
так и с помощью условных вероятностей P(AjjS), /= 1, .... I, естественно
определить условное математическое ожидание случайной величины g
относительно разбие-ния S, обозначаемое M(SjJ^), или Р j • ) -1 М (? | S)
(со), формулой
/
Ш.1)
М(?|^) = 2 (9) р (-!д)-
(;/)
i = I
Согласно этому определению условное | 1 ^ математическое ожидание М !; ;
S) (со) r м -t,
является случайной величиной, прини- ' 1 ' ^
мающей для всех элементарных собы- Рис- 14
тий (о, принадлежащих одному и тому
г
же атому Dh одно и то же значение 2 */P М/1 А)- Это за-
/ = i
мечание показывает, что к определению условного математического ожидания
М (11 можно было бы подойти иначе. А именно, сначала определить М (Н j
Dt) - условное математическое ожида-
ние ? относительно события Dt формулой
М (* ; Dt) - 2 х,Р (A, i Dt) (= (10)
а затем положить по определению
М(1 &)(<*) = ^ М(?|^)/0 (со) (11)
(=1
(см. диаграмму на рис. 14).
Полезно отметить также, что значения М (5 i D) и М (? ( S') не зависят от
способа представления случайной величины ?.
Проводимые далее свойства условных математических ожиданий
непосредственно вытекают из их определения:
М (а\ -f- Ьт| j S) = аМ (Н j S) -f- Ш (т) | S), а, Ь - константы; (12)
М(Н!П) = МН; (13)
М (С ] S) - С, С - коне: апта; (14)
90
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
если ? -/д(а>), то
(15)
Последнее равенство показывает, в частности, что свойства условных
вероятностей можно получать непосредственно из свойств условных
математических ожиданий.
Следующее важное свойство обобщает формулу полной вероятности (5):
ММ (1\&) = М?. (16)
Для доказательства достаточно заметить, что, согласно (5),
ММ(Ц^) = М 2 XjP (Л, I SO = 2 = ? х,Р{А,)^Щ.
i = 1 j ; = i /=!
Пусть - {Dlt D/,} - разбиение и т] = т) (со) - некоторая
случайная величина. Будем говорить, что т) измерима относительно этого
разбиения или .^-измерима, если ДД s т. е. ?] =)] (со) может быть
представлена в виде
*](")= Tjb'ilo. (to), г = I
где //; могут быть и равными. Иначе говоря, случайная величина ^-измерима
тогда и только тогда, когда она принимает постоянные значения па атомах
разбиения & .
Пример 2. Если 77 - тривиальное разбиение, 77'--=(СД, то ц ^-измерима в
том и только том случае, если т)==С, где С - постоянная. Всякая случайная
величина р измерима относительно разбиения
Предположим, что случайная величина р является -измеримой. Тогда
М (ell ¦ 2$) - цЫ (Е \ S) (17)
и, в частности,
Мер == л (М (л ! 3\) = р). {! 5)
г
Для доказательства (17) заметим, что если ?=2 -V*4 • то
/' - 1 '
i (•
?Т1 ~ .S XjHilA Dt
§ 8. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ II ОЖИДАНИЯ
91
и, значит,
М (gr| | 2j) = 2 xiLJp
/ = 1 I = 1
- 2] TiW 2 P (AfDi'Dm)IDm(coy-
j = \ i = \ m~\
/ = i i = i
= 2 2^р(Л-1А)/о;и.
(19)
С другой стороны, учитывая, что /Ь; = /о; и = 0, i^rn,
получаем
Г,М (ё!^)-[2угц (co)l-fi] *;Р(Л,| <2Г)
• у, 2 УР My i D,n) /= 1
j 2 н
ii=i
2 2М/РИ;1^)-ЧИ,
что вместе с (19) доказывает (17).
Установим еще одно важное свойство условных математических ожиданий.
Пусть ДУ, и ДУ 2 - два разбиения, причем Е ДУ2 (разбиение дУ, "мельче"
разбиения УД). Тогда
М|У Щ 2 .• ,!• М (У Ж д).
Для доказательства предположим, что
Д\={011> •••' Dtmb -^2 = {^21. •••> D2"l.
I
Тогда, если \ = V х,-1А., то
(20)
Ми -'У) •• 2 ДР(Л'1^2).
/ = 1
и достаточно лишь установить, что
М[Р(П/|ДУг)|Дг1] = Р(Л/[^1).
Поскольку
РМ,№ = 2 P(Aj\Diq)ID
? = i
(21)
32
ГЛ Т ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ТО
М [Р (А, I 22\) \ |= 2 р (Л, j Diq) Р (D.2q I
q = i
2 P (А/ \ D2q)
Я
2 P(Dw\D1p)Id
L p = 1
;o • P (21/1 -^2?) P {D.iq [ Dlp) -
,')==! <7=1
2 ь • 2 ph/|d2?)P(dm|d1p)=
P=1 {r. D2q^DXp]
X X P (AjD.lq) P(D29)
D'p' P(Da.?) 'P(Dip)~
{* = D2, 0lp}
n
= 2] Ч •Р(Л/101р) = Р(л/|^1),
p ~ I
что и доказывает (23).
В том случае, когда разбиение 22 порождается случайными
величинами т],....... п/; (32 = 22 П]> _ п ), условное математическое
< жпдапие М (Е | 22 " ___ п ) будет обозначаться М (11%, л*Ь или М (у ¦
Пн т]/д (со.!, и называться условным математическим ожиданием |
относительно ту, \\к.
Непосредственно из определения М (51 rj) след>ет, чго если g и ij
независимы, то
м а \ ц) = т- (22)
Из (18) следует также, что
М (п | т)) = п- (23)
Свойство (22) допускает следующее обобщение. Пусть случайная величина |
не зависит от разбиения 22 .'т. е. для любого Dt <= & случайные величины
g и /0 независимы). Тогда
М (I I т = i'.ri (24)
Из (20) в качестве частного случая получаем следующую полезную формулу:
М [М (g I Л1. %) i ih] = М (I \ >Ь)- (25)
Пример 3. Для случайных величин с и п. рассмотренных в примере 1, найдем
M(g + r|jr|). В силу (22) и (23i
М (ё -i-Л I Л) Щ л Л - о и-ту
§ 8. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ
93
Этот результат можно получить и отправляясь от (8):
2
М (I + г) | л) = 2 kP (I + т] = k | л) = р (1 - т|) + qr\ + 2рц = р -f-
