Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 26

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 179 >> Следующая

sup
- со < Ъ со
Р а<-
-MS"
VDS"
1
/2л
1 dx
•О, п -Vсо,
Из этой формулы сразу следует, что при любых - со =<: А << <уВ^оо при п-
*- со
Р{ AcS^B]
Ф
/ В - пр \ \ У npq j
Ф
[ А -пр у Vnpq )_
¦0.
(25
Пример. Правильная кость подбрасывается 12 ООО раз. Спрашивается, какова
вероятность Р того, что число шестерок будет лежать в интервале (1800,
2100].
Искомая вероятность равна
D rk / l5is coo-ft
И- Z C,2 000 i -6"/ I 6~)
1800 </;< 2100
Понятно, что точнее вычисление этой суммы представляет весьма трудоемкую
работу. Если же воспользоваться интегральной теоремой, то найдем, что
интересующая нас вероятность Р примерно равна (/г= 12 000, р = -|р, а =
1800, ?> = 2100)
Ф
2100-2000
У 12 000- '
5_ 6 ' 6

1800 - 2000
12 000 •
J/ _ 6 6
= ф (|/б) - Ф (- 2 У 6) ^ Ф (2,449) - Ф (- 4,898) 0,992,
где значения Ф (2,449) и Ф(-4,898) взяты из таблиц для функции Ф (х) (так
называемой нормальной функции распределения, см. далее п. 6).
3. Нанесем биномиальные вероятности Р" (прУхУ npq) (х предполагается
таким, что пр-{-хУnpq - целое число) на графике (рис. 9).
Тогда локальная теорема говорит о том, что для х = о (npq)l;G вероятности
Р П(пр у х~\У npq) хорошо "ложатся" на кривую
§ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
75
- 1-e~*z/2. Интегральная же теорема говорит о том, что
У 2лpq ____ _____________________
вероятность Рп (a, b] = Р {а У npq <.Sn - np^b ]/ npq} = Р {пр +
Рп (т+хУгщ)
dll
-~= е-хг!г itnnpij.
О:
Рис. 9.
-У а У npq < S" =?piip + b У npq] хорошо аппроксимируется инте-
ь
тралом 1/У2л ^ е~к'г'2 dx.
Обозначим Fn И
п(х) = Рп(~ со, х] Р|-
S" - по
У npq }J
Тогда из (21) следует, что
sup \Fn (х) - Ф (х) j 0, п ->¦ со, (23)
- сс sC! х ^ со
Естественно возникает вопрос, насколько быстро с ростом п происходит
стремление к нулю в (21) и (23). Приведем (без доказательства) результат,
относящийся сюда и являющийся частным случаем так называемой теоремы
Берри - Эссеена:
sup (24)
- сс si * s: СО V npq
Важно подчеркнуть, что порядок сценки (l/~Уnpq) не может быть улучшен, а
это означает, что аппроксимация Fn(x) с помощью функции Ф (х) может быть
плохой при значениях р, близких к нулю или единице даже при больших п.
Возникает поэтому вопрсс о том, а нельзя ли при малых значениях р или q
найти для интересующих нас вероятностей лучшую аппроксимацию, нежели так
называемая нормальная, даваемая локальной и интегральной теоремами. С
этой целью заметим, что, скажем, при р = 1/2 биномиальное распределение
{Pn(k)\ имеет симметричную форму (рис. 10). Однако при малых значениях р
биномиальное распределение приобретает асимметричную форму (см. рис. 10),
и поэтому не приходится ожидать, что нормальная аппроксимация будет
хорошей.
76
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
4. Оказывается, что при малых значениях р хорошую аппроксимацию для
\Рп (k)} дает так называемое пуассоновское распределение вероятностей.
Пусть теперь
Рп (k) ¦
Cknpkqn-k, А- = 0, 1, ..., п,
О, k = п -f 1, п-\- 2, ...,
и предположим, что р является функцией от п, р - р (п).
оп-
ор о,.
рП(к)
ОЗУ
TN p-f/2,n=/D 0,2 / / p=lfo,n=tO
\ 0,1 i Г ! \
1 ! ^ {
6 8 10 0 4 6 8 Ш
Рис. 10.
Теорема Пуассона. Пусть р(п)^0, я-voo, причем так, что пр (п) -*¦ К, где
А,>0. Тогда для любого /г = 0, 1, ...
г<9е
л*
Р,, (k) ->- л,%, п }Те~1
fj-, /г == 0, 1, ...
(25)
(26)
Доказательство весьма просто. Поскольку по предполо-X / 1 \
жению р (п) = - + о 1^--), то для любого фиксированного k = 0, 1,... и
достаточно больших п
Р" (k) = Спр q
k k ri-k -
n(n- 1) ... (n-k-\-1)
X , /1
-- -{- о I - n \n
1 X , I \
1 h o -
n \ n
X . / 1 у
n \ n J
Ho
n{n- 1) ... (n - k-\-1)
B -lbid2.Z±±ll [Я + о (1)]" -> Л", n-^oo,
nk
n-k
¦e~%, n-+co,
что и доказывает (25).
5.6 СХЕМА ПЕРНУЛ ЛИ. И ПРЕДЕЛ! НЫЕ ТЕОРЕМЫ
77
Нгбср чисел {як, k = 0, 1, ...} образует так называемое пуас-
соновское распределение Еероятнсстей [ л* Ss О,
Л/,
= 1 i. Отме-
тим, что все рассматриваемые выше (дискретные) распределения были
сосредоточены лишь в конечном .числе точек. П\ассонсвское распределение -
это первый встретившийся нам пример (дискретного) распределения,
сосредоточенного в счетном числе точек.
Приведем (без доказательства) следующий результат Ю. В. Прохорова,
показывающий с какой скоростью величины Pn(k) сходятся к nk при а -v со.
2 i Рп (k) - Л/г I
4 = 0

min (2, Я).
(27)
5. Вернемся к предельной теореме Муавра -Лапласа. Покажем, как из нее
следует закон больших чисел (с оговорками, сделанными к (5.8)). Поскольку
Р
е}=Р{
Sn - np Vnpq

то из (21) ясно, ЧТО ДЛЯ е > 0
Sn
п
eVnlpq
е1 1- \ е-*г/2 dx -> 0, я-
1 у 2л J______________
(28)
е V n/pq
откуда
•-Р
4-
1.
я •
• со,
что и составляет утверждение закона больших чисел. Из (28)
eYn/pq
Р{
Jn
п
1
¦)-7= / V 2я
^ e~x2/2dx, п-
со,
(29)
- eYn/pq
в то время как неравенство Чебышева давало лишь оценку
p{|C-04Ss|-^-
В конце § 5 было показано, что для справедливости соотношения
¦ а
78
ГЛ. ]. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed