Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
следующему предложению.
Теорема (Макмиллан). Пусть р,- > 0, i = 1, .,., г и 0<е < 1. Тогда
существует я0 = я0(е; рх, ..рГ) такое, что для всех я>я0:
a) еп -?) sЛ/ (С (п, е,)) "с еп <я + Е>;
b) е- щн + е) р (со) ^ е-п (Я - е)( (о еС(л, ех);
c) Р (С (гг, ех)) = 2 р (со) -> 1, п -> СО,
СО 6= С {fl, В1)
где
ех = min /е, ^ V
\ -*2>л)
\ * = > /
Доказательство. Утверждение с) следует из закона боль-ших чисел. Для
доказательства остальных утверждений заметим, что если соеС(л, ех), то
яр* - ёхя < V/, (со) < яр* + ехя, /г = 1, ..., г,
и, значит,
р (со) = ехр {- 2 V* In Р*} < ехр {- я У] р* In р* - ёхя V In р/г} - У
<ехр{-я(я-J)}.
Аналогично.
р (со) >ехр {- п[ Н+ (r)jj.
Следовательно, Ь) и подавно выполнено.
Далее, поскольку
Р(С(я, Ej)) os N (С (я, Ex)) * min р (со),
(О €= С ('Т, с 1)
ГО
д; /Г /" с и < Р (С 1 = е ' (Я +
' ' ' min p(u>) _"(//+-?¦)
со G С (я. Si) р \ 2 J
и аналогично
(OS С (/I, Е,)
Поскольку Р(С(я, ех))->-1, я->-оо, то найдется ях такое, что для я>ях
Р(С(я, ех))>1- ё и, значит,
(V (С (я, ех)) т== (1 - ё) ехр |я ^Я - =
= ехр jn (Я - 8) + г(1
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть п3 таково, что для п~>п2
f + ln (1 -е) >0.
Тогда для п 52 п0 = max (nlt и,)
Теорема доказана.
5. Закон больших чисел для схемы Бернулли позволяет дать простое и
изящное доказательство известной теоремы Вейерштрасса о приближении
непрерывной функции полиномами.
Пусть / = / (р) - непрерывная функция на отрезке [0, 1]. Введем полиномы
называемые полиномами Бернштейна по имени автора приводи' мого
доказательства теоремы Вейерштрасса.
СК I
Поскольку непрерывная на отрезке [0, 1] функция f = f(p) равномерно
непрерывна, то для всякого е >• 0 найдется б >• 0 такое, что j f (х) - /
(у) | е, коль скоро \х - у | "л б. Ясно также, что такая функция
ограничена, {/(х) | "с: М < со.
Учитывая это и неравенство (5), находим
П
1 \f(P)-f{n)}C"p'!^k
Cknpkqn~k +
^ е + 2 М.
Отсюда
lim max | f (р) - Вп (р) | = 0,
что и составляет утверждение теоремы Вейерштрасса.
§ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
07
6. Задачи.
1. Пусть Е и 1] - случайные величины с коэффициентом корреляции р.
Показать справедливость следующего двумерного аналога неравенства
Чебышева:
Р {| | - MS | Ss е у Е>1 или 111 - Mrj | 2= 8 УЩ} <-1 (1 +
(Указание. Воспользоваться результатом задачи 8 из § 4.)
2. Пусть / = /(х) - неотрицательная четная функция, неубывающая при
положительных х. Тогда для случайной величины § с | 5 (со) | мД С
М/' (?) / (е) р ( <¦- i^ri (ь ~Mj)
¦--^ К ь - МЫ 1^6)^ .
В частности, для f(x)-x2
3. Пусть |j, Ея - последовательность независимых случайных величин с D|,-
С С. Тогда
St + ... + in М iii + • • ¦ + ьл.) ! д с
(С темп же оговорками, какие были сделаны к соотношению (8), из
неравенства (15) следует справедливость закона больших чисел в более
общей ситуации, нежели в схеме Бернулли.)
4. Пусть Е Е.. - независимые бернуллиевские случайные
гелпчпны с Р {?,¦ = 1[ = р > О, Р {с,- = -1}=1- р. Имеет месю следующая
оценка Бернштейна: существует а>0 такое, что
- (2,о - 1) j у- в| лД 2е~ аг''п, где S,, = и е > 0.
Р{
§ 6. Схема Бернулли. II. Предельные теоремы (локальная, Муавра - Лапласа,
Пуассона)
1. Как и в предыдущем параграфе, пусть Sn - ?i + • • •+ ?/"•
Тогда
11 в силу (4.14)
М%-Р, (1)
м(т-р)* = "- (2)
68
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Из формулы (1) следует, что получил точную интерп оценки вероятностей Р j
' р, где знак эквивалентности -
эетацию в законе больших чисел в виде S )
" " е>. Естественно думать, что
аналогичным образом вытекающему из (2) соотношению
П
(3)
также можно придать точный вероятностный смысл, рассматривая, например,
вероятности типа
R\
или, 410 то же, вероятности
-MS"
VDSn
,v j
(поскольку МSn = np и DSn - npq).
Если обозначить, как и выше, для га;
1
Pn(k) = CnPkqnk,
то вероятность
VDS"
I"
У
im
I ft - np I
V npq I
Pn (k).
(4)
*}
Поставим задачу об отыскании удобных асимптотических формул при га -V со
для вероятностей Рп (к) и их сумм для тех k,
которые удовлетворяют условиям в правой части (4).
Следующий результат дает ответ не только для этих значений k (т. е.
таких, что j k - np | = О ]/ npq)), но и для тех, кото-
рые удовлетворяют условию | k - np j = о (npq)2/3.
Локальная предельная теорема. Пусть 0 < р < 1, тогда равномерно по всем k
таким, что \k - np\ - o(npq)2^
(ft - пр)2
(5)
Рп (k).
1
V 2.
2npq
Tinpq
т. е. при га-у со
sup
{ft: I k - np | (л)}
Рп (*)
У2nnpq
(ft -яр)" 2npq
¦о,
(6)
где ф (л) - о {npq)2&.
§ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 69
Доказательство существенно использует формулу Стир-линга (2.6)
п\ = \r2nn е~ппп (1 +/? (п)),
где R(n)-y 0, п -*¦ со.
Тогда, если л->оо, k-yoo, п - k-> оо, то
rk _ п\ __ __________________V 2лп е~ппп_________ ^
П к\[п-к)\ У'2я* . 2я (п^к) • *-<*-*> (/г - /е)(tm)~*
1+/\(/г) 1 1 +е(/г, /г, п - ?)
X
(i+/?cft))ci+/?m-*)) т/~2л"д(1)Ч1_±)а'н
V " п \ п) \п1 \ п)
$
тле очевидным образом определяемая функция г = е(п, k, n - k)--s-0 при п-
