Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 29

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 179 >> Следующая

2 •
В частности, если Я* = 3, то 6* = 0,9973 ... Так что с вероятностью,
примерно равной 0,9973,
П-3|/ -е(!.г~0)-<о<п + 3|/' -{1~
8)
(8)
8G ГЛ I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
или после итерирования и отбрасывания членов порядка О (at3-4) находим,
что
П - 3]Л"~( 1 ~ Г-") < 9 < П + 3 У -П (-7~ Т*п)- . (9)
Отсюда следует, что доверительный интервал
[п~т- Tt+ws] (10>
имеет (при больших п) надежность 0,9973 (тогда как неравенство Чебышева,
давало надежность лишь, примерно, равную 0,8888).
Отсюда можно сделать следующий практический вывод. Пусть производится
большое число N серий экспериментов, в каждой из которых по п наблюдениям
оценивается параметр S. Тогда примерно в 99,73% случаев из N в каждой
серии оценка будет отличаться от истинного значения параметра не больше
чем на
з
-у -. (См. по этому поводу также конец § 5.)
3. Задачи.
1. Пусть a priori известно, что параметр 0 принимает значения во
множестве 0" != [0, 1]. Построить несмещенную оценку для параметра 0,
принимающую значения лишь во множестве (c)".
2. В условиях предыдущей задачи найти аналог неравенства Рао - Крамера и
рассмотреть вопрос об эффективных оценках.
3. В условиях первой задачи рассмотреть вопрос о построении доверительных
интервалов для 0.
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно
разбиений
1. Пусть (Q, ет^, Р) - конечное вероятностное пространство и &={Dlt
..., Dk}
- некоторое разбиение Q (Dt ед Р (Д-) > 0, /= 1, .... к, и D, %.. . + D*
= Q). Пусть, далее, Л-событие из ^ и Р (А \ Двуслойная вероятность
события Л относительно события Dt.
С набором условных вероятностей {Р (A\Dt), г'=1, ..., k} можно связать
случайную величину
пН= Е P(A\D,)1d ((0) (1)
i = 1
(ср. (4.5)), принимающую на атомах разбиения D{ значения Р(Л|П1). Чтобы
подчеркнуть, что эта случайная величина связана
§ 8. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ II ОЖИДАНИЯ
87
именно с разбиением 6626, ее обозначают
Р {А\626) или Р(А\?2) (со)
и называют условной вероятностью события А относительно разбиения 626.
Это понятие, а также вводимые далее более общие понятия условных
вероятностей относительно а-алгебр, играют важную роль в теории
вероятностей, что постепенно будет раскрываться последующим изложением.
Остановимся на простейших свойствах условных вероятностей:
Р{А + В\36) = Р{А\(r)) + Р(В\(r))\ (2)
если 626 - тривиальное разбиение, состоящее из одного множества О, то
Р (А : Q) = Р (.4). (3)
Определение условной вероятности Р(А (626) как случайной величины дает
возможность говорить о ее математическом ожидании, используя которое
можно следующим компактным образом записать формулу полной вероятности
(3.3):
МР(Л[ Д') ==Р(Л). (4)
Действительно, поскольку
Р (Л [ 62)== ? Р (A ID.)/0. (от),
; 1
то ло определению математического ожидания (см, (4.5) и (4.6)) 16Р(А\62)
= ^ Р (A\D,)P(Di)= V] P(ADt) = P(A).
i-i i=i
live-ь теперь р = г] (со) - случайная величина, принимающая с
положительными вероятностями значения ylt ук\
к
11((r))= S yflDf(a>),
! = 1
где Dj = {со: t|(w) = <//}• Разбиение 626Ц={01, ..., Dk\ называется
разбиением, порождаемым случайной величиной ?р Условную вероятность
Р(А\&Ц) будем в дальнейшем обозначать Р (Л J л) или Р (Л | т|) (со), и
называть условной вероятностью события Л относительно случайной величины
г|. Условимся также под Р (A\\\=yj) понимать условную Еерсятнссть Р
(А\В;), где Dj ={ш: 1) (со) = г/у}.
88
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аналогичным образом, если Ли Лг> •••> Л"- случайные величины и ii2>
п - разбиение, порожденное величинами Ли
Л2, цт с атомами
°уъ уг, ..., rm=ico: 4l (") = '/!. •••, ЛшИ = г/т}.
то Р (Л ! &ци п0> ...( п ) обозначается Р (А \ лг, Лг> Чт) и называется
условной вероятностью события А относительно случайных величин Лр П-2.
Л,-ri-
ll р п мер 1. Пусть | и л -Две независимые одинаково распределенные
случайные величины, принимающие каждая значения 1 и 0 с вероятностями р и
q. Найдем для 6 = 0, 1, 2 условную вероятность Р (g -j- л = 6 \ л)
события Л ={(о: Е + л - б} относительно л-
С этой целью отметим сначала следующий общий полезный
факт: если g и л -Две независимые случайные величины со
значениями х и у соответственно, то
Р(? + Л = г!л = ") = Р(? + г/ = г). (5)
В самом деле,
п i-г | \ Р (5 + Л = г> Л = У)
Р (Е + л = г | л = У)= -- =
р (I + У = г> Л = у) _ Р И + У = г) Р (г/ = л) _ р ? ,
Р(п = </) ~ Рщ :) Г(е-Гр-г;.
Используя эту формулу для рассматриваемого случая, находим, что
Р (I А- Л = k \ л) = Р (I + Л = 6 ! Л = °) I(п = 0} (со) +
+ Р (I + Ч = k I Л - 1) - 1} (со) =
= Р (g = /е) /{т) = 0} (со) -}-Р {Е = 6 1} /(1-1 = 1) (to).
Итак,
( <?/{я = о> (to), 6 = 0,
Р(Ц-Л = Й|Л)=| Р1(ч = о) (to)+<?/{n = i} (to), 6=1, (6)
( р/{т, = 1> (to), 6 = 2,
или, что то же самое,
( Я (! -1). 6 = 0,
Р (Е + л = 6 ! л)= ] Р(1-Т1) + 9Л. 6=1, (7)
I РЛ> 6 = 2.
2. Пусть Е = Е (со) - случайная величина, принимающая значения в
множестве Х = {хЛ, ..., xt}:
I
?= 2] xJa., А.=[со: ? = *•}
/ = 1
§ 8. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 89
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed