Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Наглядный смысл a2" вполне понятен - это момент первого возвращения в
нуль. Свойства этого момента и будут изучаться в настоящем параграфе, при
этом будет предполагаться, что рассматриваемое случайное блуждание
симметрично, т. е. p = q=\j2. Обозначим для O^k^n
W2? = Р {Sik = 0)> fih - Р (02n = 2k). (1)
Ясно, ЧТО "о = 1 и
u2k = C2k • 2 2ft*
106 гл. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
Наша ближайшая цель - показать, что для вероят-
ность /26 определяется формулой
fik = ^ "2 (h-D- (2)
Понятно, ЧТО ДЛЯ 1 sg k sg п
{сг2л = 2k} = Ф 0, S2=^0, S2k-!^ 0, 52А = 0},
и в силу симметрии
/гА = Р{51^0, ..., 52а-!^0. S2A = 0}=
= 2Р {5, > 0, ..., S2A_X > 0, S2k = 0}. (6)
Назовем-путем длины к последовательность чисел (50, ..., Sk) и обозначим
через L* (А) - число путей длины к, для которых выполнено свойство А.
Тогда
/26 = 2 2] Т2л (5Х > 0, ..., S2k-l > 0, 52* = 0,
(°2А+1 ап)
52*+1 = <з2А+1, ..., S2n = а2/г+1 а2п) • 2~2л =
= 2L2ft (5Х > 0, ..., S2ft_1>0, S2ft = 0) • 2~2А, (4)
где суммирование распространяется по всем наборам (а2к+1, ..., агп) с а,-
= ± 1.
Следовательно, отыскание вероятности f.2k сводится к подсчету числа путей
Lz*(51>0, ..., S2ft_1>0, S2ft = 0).
Лемма 1. Пусть а, b - целые неотрицательные числа, а - Ь>0 и к = а + Ь.
Тогда
Ы^Х), ..., Sft_1>0, Sk = a-b)=~Cak. (5)
Доказательство. Действительно Z.ft(S1>0, ..., Sft_1>0, Sk = a - b) =
= Lfc(Sx=l, S2> 0.........Sft_1>0, Sft = a-b) =
= Ltt(S1=l, S* = a - b) - L* (Sx = 1, S* = a - b\
Зг, 1, такое, что S(sg0). (6)
Иначе говоря, число положительных путей (S1, S2, ..., Sk), выходящих из
точки (1, 1) и заканчивающихся в точке (к, а - Ь) совпадает с числом всех
путей, идущих из точки (1,1) в точку (к, а - Ь) за вычетом тех путей,
которые касаются или пересекают временную ось *).
*) Путь (Sj, Sft) называется положительным (неотрицательным), если все Si
> 0 (S;^0); путь называется касающимся временной оси, если для всех
1^/'г?й, Sy326 или Sys? 0 и найдется такое 1 что S,= 0, и
называется пересекающим временную ось, если найдутся такие два момента
времени i и /, что S/ > 0, а Sj < 0,
>А
§ 10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. II, 1°7
Заметим теперь, что
Lk(Sx=l, Sk = a - b\ 3i, 2^i^k- 1, такое, что 5;^0)==
= L"(Sl = - 1, Sk - a - b), (7)
т. е. число путей, идущих из точки а = (1, 1) в точку р = (к, а - Ь) и
касающихся или пересекающих временную ось, совпадает с числом всех путей,
идущих из точки а* = (1, -1) в точку р = (&, а - Ь). Доказательство этого
утверждения, носящего название принципа отражения, следует из легко
устанавливаемого взаимно однозначного соответствия между путями А =
(5,,...
Sa, 50+1, ..., Sk), соединяющими точки а и р, и путями В - (-S" ...
...Sa, 50+1,..., Sk), соединяющими точки а* и р (рис. 17); а -первая
точка, где пути А и В обраща ются в нуль.
Из (6) и (7) находим
Lk(Sx^>0, ..., Sfc-j>0, Sk = a b) =
- Lk(Sx= 1, Sk = a - b) - Lk(Sx - - 1, Sk = a - b)-=
С а - 1 wi CL - b f~,a
k- 1 1- L, '-'k)
a
Рис. 17. К принципу отражения.
что и доказывает утверждение (5).
Возвращаясь к подсчету вероятности fik, находим, что, согласно (4) и (5)
(с a -k, b = k-A),
hk = 27.2*>0, 52ft_1 > 0, Бы = 0) • 2~2ft =
= 2Z,2*-j (5x >0, ,.., 5.2*-! = 1) • 2 гк =
= 2 • 2_2ft ¦
2k
1 rk _ 1 .
_ 2 <-2k - 1 - U'l (*-!)•
Итак, формула (2) доказана.
Приведем еще одно доказательство этой формулы, основанное на следующем
замечании; Непосредственная проверка показывает, что
2ДГ w2(*-l) = (*-1) ~ и21г- (8)
В то же самое время ясно, что
{о2л = 2k) = {о2л > 2 (* - 1)} \ {о2л > 2k),
{<7гл 2/} = {SA 'Ф- О, ,,,, S2t Ф 0}
108
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
и, значит,
{a2" = 2fe} = {S1=^0, S2(ft_1)=^0}\{S1^0, S2ft=?0}.
Поэтому
/г*"Р {51э,ь0, S2(k-D =#=0} Р |SX Ф 0, S2ft=7t0},
и, следовательно, в силу (8) для доказательства равенства f2k =* =
2Fu2(ft-1) достаточно лишь показать, что
Т2* (Si?=0, S2A=^0) = L2fe(S2* = 0). (9)
С этой целью заметим, что очевидным образом
..., S2k Ф 0) = 2L2* (S1 > 0, ..., _S2k>0). Поэтому для проверки (9)
нужно лишь установить, что
2L2? (Sx >" 0, ..., Stt>0) = Lu(S1^0, ..., S2k^ 0) (10)
и
L2*(Sx^0, ..., S2k 0) = L2k {S2k = 0). (11)
Равенство (10) будет доказано, если показать, что между путями Л = (5Х,
..., S2*), у которых по крайней мере одно S;=0, и положительными путями В
- (Sх, S2k) можно установить
взаимно однозначное соответствие.
Пусть ^4 = (Sx, • ••, S2it) - неотрицательный путь, у которого первое
обращение в нуль происходит в точке а (т. е. Sa = 0). Выпустим из точки
(а, 2) траекторию (на рис. 18 она обозначена штриховыми линиями) (Sa + 2,
Sa+1 + 2, ..., S2* + 2)\ Тогда путь В - (Sj, ..., Sa_x, 5a + 2, S2*
+ 2) является положительным.
Обратно, B = (Slt ..., S2k) - некоторый положительный путь и Ь- тот
последний момент времени, для которого Sb = 1 (рис. 19). Тогда путь j4 =
(Sx, ..., Sb, Sb+1- 2, ..., Sk - 2) является неотрицательным. Из
приведенных конструкций следует, что между положительными путями и
неотрицательными путями, у которых по крайней мере одно S; = 0,
