Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 27

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 179 >> Следующая

неравенство Чебышева дает следующую оценку для необходимого числа
наблюдений:
4е2ос
Гак, при ё = 0,02, а = 0,05 необходимо 12 500 наблюдений. Воспользуемся
теперь для решения той же задачи аппроксимацией (28). Определим число k
(а) из соотношения
k (IX)
У 2л
^ е~ х'!2 dx - 1 - а.
¦ к {сс)
Поскольку e'j/'2еУп, то, определяя (наименьшее целое) п из неравенства
2е У п (а), (30)
получим, что
Р{|-Т*"Н^8}^1-05' (31)
Из (39) находим, что наименьшее целое п, удовлетворяющее неравенству
к- (я)
гарантирует выполнение (31), где точность аппроксимации легко может быть
установлена из (24).
Беря 8 = 0,02, а = 0,05, находим, что на самом деле достаточно лишь 2500
наблюдений, а не 12 500, как это следовало из неравенства Чебышева.
Значения k (а) находятся по таблицам. Приведем ряд значений k (а) для
некоторых значений а:
а km
0,50 0,675
0,3173 1,000
0,10 1,645
0,05 1,960
0,0454 2,000
0,01 2,576
0,0027 3,000
6. Введенная выше функция
ф(х)"тк S e~,'ndl' (32>
- СО
участвующая в интегральной теореме Муавра - Лапласа, играет исключительно
важную роль в теории вероятностей. Эта функция
§ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
79
называется нормальным или гауссовским распределением вероятностей на
числовой прямой с (нормальной или гауссовской) плот-, ностью
ф w==yWe~*2/2' x^R1-
Мы уже встречались с (дискретными) распределениями, сосредоточенными в
конечном и счетном множестве точек. Нормальнее распределение принадлежит
дру гому важному типу распределений, возникающих в теории вероятностей.
Отмеченная выше его исключительная роль сбъсняется прежде всего тем, что
при достаточно общих предположениях распределение суммы большого числа
независимых случайных величин (не обязательно бериуллиевских!) хорошо
аппроксимируется нормальным распределением (§4 гл. III).
Остановимся сейчас на некоторых простейших свойствах функций Ф (х) и
Ф(х), графики которых приведены на рис. 11 и 12,
Рис. 12. График функции нормального распределения Ф (*).
Функция ф (х) является симметричной колоколообразной кривой, убывающей с
ростом I х | очень быстро: так ф (1) =0,24197, ф (2) =0,053991, ф(3) =
0,004432, Ф (4) = 0,000134, Ф (5) = 0,000016,
Рис. 11. График плотности ф (х) нормального распределения.
80
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Максимум этой кривой достигается в точке х=0и равен (2л)-"=< 0,399.
Кривая Ф (а) = ^ е~<2/2 dt быстро приближается с ростом х
- СО
к единице: Ф (1) = 0,841345, Ф (2) = 0,977250, Ф (3) = 0,998650, ф (4) =
0,999968, Ф (4,5) = 0,999997.
По поводу таблиц функций <р (х) и Ф(х), а также других
основных функций, используемых в теории вероятностей и мате-
матической статистике см. [6].
7. Задачи.
1. Пусть гс =100, р - 1/Ю, 2/10, 3/10, 4/10, 5/10. Используя таблицы,
(например, из [6]) биномиального и пуассоновского распределений, сравните
значения вероятностей
P{10<Sloo< 12), Р {20 < S,no "М 22),
Р {33 < S!00- л 35), Р {40 < Si00 42}
P{50<5jno^52
- j > ))
с соответствующими значениями, даваемыми нормальной и пуас-соновской
аппроксимациями.
2. Пусть р- 1/2 и Z"==2Sn - п (число превышений единиц над нулями в п
испытаниях). Показать, что
sup | Улп Р {Z2n - /} - е- /-/-J/г | -0, п оз.
/
3. Доказать, что в теореме Пуассона имеет место следующая скорость
сходимости:
" 232 = п
sup
k
/ kp
Рп (k) К
k:
§ 7. Оценка вероятности "успеха" в схеме Бернулли
1. В рассмотренной выше схеме Бернулли (Q, А, Р) с Q = = {со: со =
(а1, хп), хг = 0,1), алГ = {Л: Л = Й),
p(co)=p2V2'Ci
предполагалось, что число р (вероятность "успеха") известно.
Представим теперь, что р заранее неизвестно и мы хотим его определить по
наблюдениям за исходами эксперимента, или, что то же, по наблюдениям за
случайными величинами ..., где h (со) = Xi. Эта задача, являющаяся
типичной для математической статистики, допускает различные постановки.
Ниже мы рассматриваем две такие постановки: задачу оценивания и задачу
построения доверительных интервалов.
" 7. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ "УСПЕХА"
81
Следуя обозначениям, принятым в математической статистике, неизвестный
параметр р обозначим через 0, считая a priori, что значения О принадлежат
множеству 0 = [О, 1]. Будем говорить также, что набор (Q, &э?, Ре; Оеб) с
рв (со) = б2*"' (1 - задает вероятностно-статистическую модель
(отвечающую "п независимым испытаниям" с вероятностью "успеха" 0 е 0), а
всякую функцию Т" - Тп (о"), принимающую значения в 0, будем называть
оценкой.
5
Если S" = i1 + ... + 5" 11 Th = -?, то из закона больших чисел
следует, что оценка Т% является состоятельной в том смысле, что (е > 0)
Ре{\П-Г^г}-+0, п-^эо. (!)
Кроме того, зта сцепка является несмещенной: для всякого б ее 0
ад-о, (2)
где Мо - математическое ожидание, отвечающее вероятности Pq.
Свойство оценки быть несмещенной является вполне естественным: оно
отражает тот факт, что всякая разумная оценка должна, по крайней мере "в
среднем", приводить к желаемому результату. Однако легко заметить, что
оценка Т* не является единственной несмещенной оценкой. Например, такой
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed