Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
у].
Пример 4. Пусть ? и т] - независимые одинаково распределенные случайные
величины. Тогда
М(^ + = + (26)
Действительно, считая для простоты, что \ и р принимают значения 1,
2,..., ш, находим, что (l=sc?<;m, 2^1^2т)
Pr л П Р(Е = А. 1 + 11 = 0 P(g = A. г| = /-А) _
"-•(ь - А.ё-гП - о - РД . ,, /, ------PTS + f| = 0 "
P$ = k)P(4 = t-k) _ P(ri = ")P(S = /-fe)_p, I n
~ P(i+ri=o p(g+rt=/) r(T1
Этим доказано первое равенство в (26). Для доказательства второго
достаточно заметить, что
2М (? ! 1 + Л) = М(|||+ л) + М(л!1 + 11) = М(| + л|1 + 11) = 5 + т1.
3. Еще в § 1 отмечалось, что каждому разбиению 3S -
..., Dk\ конечного множества Q соответствует алгебра а (22) подмножеств
Q. Точно так же и обратно, всякая алгебра S3 подмножеств конечного
пространства Q порождается некоторым разбиением S3 (S3 == а (S3)). Тем
самым между алгебрами и разбиениями конечного пространства Q существует
взаимно однозначнее соответствие. Это обстоятельство следует иметь в виду
в связи с вводимым в дальнейшем понятием условного математического
ожидания относительно специальных систем множеств, так называемых а-
алгебр.
В случае конечных пространств понятия алгебр и а-алгебр совпадают. При
этом оказывается, что если oS# - некоторая алгебра, то вводимое в
дальнейшем (§ 7 гл. II) условнее математическое ожидание М (? | S3)
случайной величины ? относительно алгебры S3 просто совпадает с М (| |
22') - математическим ожиданием \ относительно разбиения S3 такого, что
S3 - a(2S). В этом смысле в случае конечных пространств в дальнейшем мы
не будем различать Ы(%\333) и М(Е|^), понимая всякий раз, что M(?j S3):
есть по определению просто М(||^).
4. Задачи.
1. Привести пример двух случайных величин | и т], которые не являются
независимыми, но для которых
M(?|r]) = Mg.
(Ср. с утверждением (22).)
94
ГЛ I ЭЛЕМЕНТ\РНЛЯ ТЕ0РП1 ВЕРОЯТНОСТЕН
2. Условной дисперсией g относительно разбиения 27 называется случайная
величина
?(? =
Показать, что дисперсия
Dfe - MD {%\2>) + DM (5 \2).
3. Отправляясь от (17), доказать, что для всякой функции f - fbi)
условное математическое ожидание М(5|Т)) обладает следующим свойством:
Ni[f (т)) М (Е | Л)] = М [ъ/М-
4. Пусть I и т| -случайные величины. Показать, что inf М (т)-/г(т))2
достигается на функции /* (Е) = ГЛ (р , с). (Таким об-
разом, оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой т} по | является
условнее математическое ожидание М (р | ?)).
5. Пусть Hlt In, т - независимые случайные величины, причем \п
одинаково распределены и т принимает згоче-
ния 1, 2,..,, п. Показать, что если .S'. - Т •...•'2. - с; v.mi
случайного числа случайных величин, то
М (Sx | т) =тМс1, D (Sx
и
MSX = Мт • Mtj, D5t = Мт ¦ Dcj + От •
6. Доказать равенство (24).
§ 9. Случайное блуждание. 1. Вероятности разорения
и средняя продолжительность
при игре с бросанием монеты
1. Значение установленных в § 6 предельных теорем для схемы Бернулли
далеко не исчерпывается тем, что они дают удобные формулы для подсчета
вероятностей P(S" - k) и Р (Л < S" ёД В). Роль этих теорем состоит также
и в том, что они носят универсальный характер, т. е. остаются
справедливыми не только для независимых бернуллиевских случайных величин
|lf ..., принимающих всего лишь два значения, но и для величин гораздо
более общей природы. В этом смысле схема Бернулли явилась той простейшей
моделью, на примере которой были подмечены многие вероятностные
закономерности, присущие и гораздо более общим моделям
В настоящем и следующем параграфах будет рассмотрен ряд новых
вероятностных закономерностей, подчас носящих крайне неожиданный
характер. Все рассмотрения будут вестись снова для схемы Бернулли, хотя
многие выводы о характере случайных
5 9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ, т.
95
колебаний остаются справедливыми для случайных блужданий более общего
вида.
2. Рассмотрим схему Бернулли (?2, erf, Р), где Q = {со: со=" = (.т1
х:"), х; = ±1}, - система всех подмножеств ?2 и
р (со) = у (со) = '*~Х1^гП. Пусть %i (<о) = Xi, i= 1,..., п.
Тогда, как уже известно, последовательность ..., \п является
последовательностью независимых бернуллиевских случайных величин
Р(Е"=1 )=р, P(Ei = -l ) = q, P + q= 1.
Положим 50 = 0, + + 1 Последователь-
ность S0, Slt .... Sn можно рассматривать как траекторию случайного
блуждания некоторой частицы, выходящей из нуля. При этом S/.+] = S/, +
?/,, т. е. если в момент k частица находится в точке Sk, то в момент krfl
она сдвигается либо на единицу вверх (с вероятностью р), либо на единицу
вниз (с вероятностью q).
Пусть А и б -два целых числа, Л С 0 ^ б. Одна из интересных задач,
связанных с рассматриваемым случайным блужданием, состоит в исследовании
вопроса о том, с какой вероятностью блуждающая частица выйдет за п шагов
из интервала (Л, В). Интересен также вопрос о том, с какой вероятностью
выход из интервала (Л, В) произойдет в точке А или В.
Естественность этих вопросов становится особенно понятной, если
воспользоваться следующей игровой интерпретацией. Пусть имеются два
