Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
же будет всякая оценка
т bi-Vj +... + b.,х"
1п п '
где />, -К .. + Ъ" = 1. При этом для таких оценок также будет выполняться
закон больших чисел (1) (по крайне:: мере для неотрицательных bt) и тем
самым эти оценки Т" так ж.е "хороши", как и 'П.
В этой связи возникают вопросы о том, как сравнивать различные
несмещенные сценки, какую из них назвать наплучшей, оптимальной.
По самому смыслу оценок естественно было бы считать, что сценка тем
лучше, чем меньше ее отклонение от оцениваемого параметра. Основываясь на
этом, назовем сценку Тп эффективной (в классе несмещенных оценок Тп),
если
ОеТп - inf DeT", 0se0, (3)
Тп
где DqT" - дисперсия оценки Тп, т. е. М0(7," -0)2.
Покажем, что рассмотренная выше оценка Т% является эффективной. Имеем
S2 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
Поэтому, для того чтобы установить, что сценка Т% эффективна, достаточно
показать, что
infDeT^6-^-. (5)
'г И
II
При 6 = 0 или 1 эта сценка очевидна. Пусть 6 е= (0, 1) и ро (xl)=Qxi(l-
Q)l~\
Ясно, что
П
Ро (") = П Ро (-*/)•
1 = 1
Обозначим
Lq (со) = In Ре (со).
Тогда
L0 (со) = In 6 • v + in (1 _ е) 2 (1 - Xi)
1J
<5Й0 (СО) К*; - 0)
65 = 0 (1 -0) *
Поскольку
1 = Mol = 2 Ро ((r))
О)
и в силу несмещенности оценки Тп
6 =з МвТп = 2 Тп ((r)) Ро (")>
СО
то после дифференцирования по 6 получим, что
(дрр (со)\
n . V дрр (со) у) 69 } м Г^е И]
Li до ~ L Рв (со) 0 L до J *
СО ш
/ дРв (м) \
1"2г--Цг(r)ы№(">=м47'"^г
СО
Значит,
1 = М9 [ (Т" - 6) -|^-] и, согласно неравенству Коши - Буняковского,
LT
1 ^ Ме [Тп - 6]2 • Ме
J 7. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ "УСПЕХА"
83
откуда
М0[7я-ер
; /" (0) '
(6)
dip (ю) да
носит название информации
где величина 1п (0) = М9 Фишера.
Из (6) получаем частный случай так называемого неравенства Рао ~ Крамера
для несмещенных оценок Т"
1
тЮ37Дд. 1Аоу
(7)
В рассматриваемом случае
In (0) - Мс
дфо {<?) до
:М0
0(1-0) J
40 (1 -0) п
[Гдд]2 - оТГЩ'
что и доказывает неравенство (о), из которого, как уже отмечалось,
следует эффективность несмещенной сценки Т%
фп_
П
ДЛЯ
нензвествого параметра 0.
2. Очевидно, что, рассматривая в качестве "точечкой" оценки для 8
величину Т", мы совершаем некоторою ошибку. Может даже случиться, что
численное значение Т%, подсчитанное по наблюденным значениям лу, х",
будет довольно сильно отличаться от истинного значения 9. Поэтом}'
целесообразно было бы указывать еще и величину погрешности.
Довольно бессмысленно надеяться, что для всех элементарных событий
величины 7% f<о) мало отличаются от истинного значения неизвестного
параметра 8. Сдпако из закона больших чисел мы знаем, что для всякого 6>0
при достаточно больших п вероятность события 11Э - Т" (со) | > 6J будет
достаточно мала.
Согласно неравенству Чебышева
Ре{|9-П|>6}: и, значит, для всякого
9-7Д
0 (1-8)
0(1-0)
яб2
Д ?.2 •
Если взять, к примеру Д = 3, то с Ре-вероятностью, большей чем
0,8888 I
0,8888), осуществится событие
I п т"
О (1 -0)
ГЛ I ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН
и тем более - событие
i0 - Т % I
г 2 V'n '
поскольку 6(1-0)^-^-.
Таким образом,
Иначе говоря, можно утверждать с вероятностью, большей чем 0,8888, что
истинное значение параметра 6 принадлежит интер-
• Иногда это утверждение символи-
'7':-; 'Г 7 i 3
•* п п
валу _ " ,
L IX п 2У п J
чески записывают в такой форме:
3 880^
2 у п
где "5г88%" означает "более чем в 88% случаев".
Интервал
'Г'* 3 'Г'-.Ц I 3
. " ~~ W~n ' " 2V'n
является примером так
называемых доверительных интервалов для неизвестного параметра.
Определение. Интервал вида
[ФхМ, ФгИ1.
где iH (со) и ф.2 (со) - две функции элементарных событии, назоггм
доверительным интервалом надежности 1 - 6 (или с уровнем значимости <5),
если для всех 0 ен 0
Ре {Фх М "5 6 "? ф2 ((r))} ^=1-6.
г
Приведенные выше рассуждения показывают, что интервал | 7Д -
X X 1 1
- , Т% -1-------------у-l имеет надежность 1-^ . На самом дело
2р п 2у п J к
надежность доверительного интервала значительно выше, что связано с тем,
что использованное неравенство Чебышева дает л г: in ь грубую сценку
вероятностей событий.
Для получения более точных результатов заметим, что
.'ы:
1
! о - Т%\ <:Фх(П, п) < е < ф2 (П, л)}.
где ф1 = ф1(Т,1, п) и ф2 - ф2(71, ") -корни квадратного уравнения (0-П)2
= |-6(1-6),
§ 7. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ "УСПЕХА"
85
описывающего эллипс, расположенный так, как это изображено на рис. 13.
Пусть теперь
Тогда в силу (6.24)
sup I Fo (х) - ф (х) \ s=S
\ л0(1 -0) ' Поэтому, если a priori известно, что
0<A=s?Ofi5 1 -Д< 1,
где А - некоторая константа, то
sup 1 Fl {x) - Ф (X) I < ~ь\Г]
И, ЗНЙЧН'1'
Ре{
Ь(П, n)<Q^^(Tln)}==PJiQ-n\^>,y
I
(\Sn - пв
- о \rk=Jr ¦ Я I =г (2Ф (к) ~ 1) - -7= \ V nB(lB) J w ' AV r.
Пусть Я* - то наименьшее Я, для которого
(2Ф (Я) - 1) •
2
sl-6*,
где 6*-заданный уровень значимости. Обо- / 2
значая 6 = 6*--гг=
А V п
корень уравнения
Ф(Я) = 1-у.
В случае больших а можно пренебречь членом 2/Аи считать, что Я*
удовлетворяет соотношению
Рис, 13.
ф (Я*) = 1 -
