Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
у сю, k-yco, n - k-У со.
Поэтому
pn(k) = С"У = -r^Lrir (1 + в).
!./ 2д п - - I 1 -- I " 1 !
Обозначим i) = Тогда
я
Ря {k) = / ? ]" (l^T ,n"ft (1 + е) =
V 2ляр (! - р) \ р I VI - pi
= 1 exp [k In -- + (n - k) In , (i -фe) -
!' '2дяр (1 -/5) 1/5 1-pJ
= 1 exp [n - in -- + 11 - - ! In |i ( I -)-<;)=!
{ 2:,inp (! - p) ( [n p \ nj \-p\i
exp {-nH (/>)} (1 +e),
Y 2:uip (\-p)
где
H {>;) = a-In -p + (1 - x) In
Рассматриваемые значения k таковы, что \ k - tip [ -о (npq)2!3, а значит,
p-p-y 0, п-уоо.
Поскольку, для 0 < x < 1
Н' (x) = ln~-ln|5j,
"'w-4+гЬ*
^'"W = --i+ 1
*2 1 (1 - х)2
70
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
то, представив Н (р) в виде Н(р-\-(р - р)) и воспользовавшись формулой
Тейлора, найдем, что для достаточно больших п
Н (р) = Н (р) + Н' (р) {р-р) + -0- Н" (р) (р-р)г + 0{\р - р i3) -
Следовательно, 1
Pn(k)
! 2 л и/5 (1 - р)
~ Y (7 + 7) (Р - Р)г + °(\Р-Р<3)'
Заметим, что
Поэтому
П _ r\o __ _JT_ (k_ _ \2 _ {k - npf 2pq ~ 2pq \п ^} ~ 2npq
Рп (к) ¦¦
1
(k - пр)2
У 2nnpq
l+s'(/7, k, п - к) = (I-\-е (п, k, п - к)) еп0 ^ р-р I3) "[/jjy-
-р)
-Р)
и, как легко видеть,
sup j е' (п., к, п - A)j->0, оо,
если sup брать по тем к, для которых
| к - пр | =s?5 ф (п), ф (я) = о (npq)213.
Теорема доказана.
Следствие. Утверждению локальной предельной теоремы можно придать
следующую эквивалентную форму: для всех х ед R1 таких, что х = о
(npq)116, а пр ^ хУ npq - целые числа из множества {0, 1, , п]
Рп {пр + хУ npq) -
1
У 2лпрд
т. е. при п->со
sup
{х : | х | < ф (/г))
Рп (пр + хУпрд)
1 --1
*¦ О
У 2nnpq
¦0,
(7)
(8)
где ф (п) - о (npq)l/6.
С учетом замечаний, сделанных по поводу формулы (5.8), полученные
результаты на вероятностном языке можно перефор-
5 в. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
71
мулировать следующим образом:
(k-np)^
Р {5" = й}~-7==е , \k-np\ = o(npq)2''3, (9)
у 2лnpq
Р = л') -=L= е~ x'-i2, x = o(npq)l/s. (10)
I I'' npq J V 2nnpq
(В последней формуле np -ф .v]/"npq предполагаются принимающими значения
0, 1, п.)
fr - r'- 1
Если положить и Ai1* = 4+i - 4 = /--¦" то послед-
I-' npq 1 npq
ней формуле можно придать такой вид:
= фЛ <Г'*/2, tk = o(npqyi*. (И)
I У npq ) I ал
Ясно, что А/д - - 0, я-"- оо, и множество точек {/*}
I' npq
как бы "заполняет" всю числовую прямую. Естественно поэтому думать, что
(11) можно использовать для получения "интегральной" формулы
р(а<-^фЛЛйД/Д С Г "* dx,
I npq J I' 2л J - оо <1 а Ь <Д оо.
Перейдем к точным формулировкам.
2. Пусть для - оо < а b <Й оо
Р,г (а, Ь] = 2] (/гр-f A']/7ipp),
О < А' ^ 6
где суммирование распространяется по тем х, для которых пр -f-4- а }/Гnpq
- целые числа.
Из локальной теоремы следует (см. также (11)), что для всех //г,
определенных из равенства /г = пр + А, ]/ прд и удовлетворяющих > СЛОВПЮ
J /д I Т < оо,
Пп(пр + 41/^м) = -^-^г|/2[1+8(/ь я)], (12)
К 2л
где
sup | е я) | ->-0, п-гоо. (13)
IA i < т
72
ГЛ I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Следовательно, для фиксированных а и b таких, что -Т-Л^Ь^Т,
2] Рп {пр Л-tkV npq) =
V2H ^ А * ]/2л
а < ^ < Ь
Ь
*%
А'* гт
где
Ял'(а, fc)= ^ е^*> ")
lb
bh_~ir
a<ik^b
У 2
л
Из известных свойств интегральных сумм
sup \R'n(a, fe)j->0, п ->¦ со. (15)
- 7" < Ь < Г
Ясно также, что sup \Rn'(a, b) |=s? sup IE(tk, n) I- У -$ге~Гк12*^
j / "< т гЛ
sup | e (tk, n) | X
T
-fLr f e-^dx-f- sup !^;/'(", fc)| ->0, (16) V 2Л J - ГгСа^ЬгСГ
X
где сходимость правой части к нулю следует из (15) и того известного из
математического анализа факта, что
V 2
X*
f е 2 dx "S-yLr- С е~ 2л J_ У 2л J
dx - 1.
(17)
- 7"
Обозначим
§ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. JI. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
73
Тогда из (14) -(16) следует, что
sup \Рп(а, Ь] - (Ф (Ь) - Ф (а)) | ->0, п->со. (18)
- 7-
Покажем сейчас, что этот результат справедлив не только для конечных Т,
но и для Т - со. В силу (17) для заданного е>0 можно найти такое конечное
Т = 7(е), что
т
^ J (19)
Согласно (18) можно найти также такое N, что для всех n^>N и 7 = 7 (к)
4- (20)
sup IРп(а, Ь] - (Ф(Ь)-Ф{а))\<-
Т igasg Ь Т
Отсюда и из (19) следует, что
Рп (- 7, 7] > 1
и, следовательно,
Рп (- со, Т] + Рп(Т, )¦ ,
где Р"{-со, 7]= Игл Рп($, 7] и Р"{Т, co) = lim Р,г(Т, S].
S | - ос S j со
Таким образом, для любых - оо ос а - 7 < 7 • и -•
ь т
Рп (a, b}--±- [e-*Pdx "о i Рп (_7, 7j--i- t e~*'/*dx
У 2л ,) у 2л J
+
- 1
Рп (а, - 7] --р=- [e-^dx У 2л J
^7- + Рп(_со, -П-
+
dx
У 2л J
_ 7
-. J е-**/2^ + ря(7, оэ) +
ело
f-L- f (r). +
У 2л J 4 ^
е , е . е , е
2' f 8 + 8 = е'
Вместе с (18) отсюда легко выводится, что равномерно по всем -со Ьг^оо
Рп(а, Ь] стремится к Ф(Ь) - Ф(а).
Итак, доказана
Интегральная теорема Муавра -Лапласа. Пусть °<Р< 1,
Pn(k)^Clpkqn~h, Р"(а,Ь]= % Pn{np + x]/Tpq).
а < х
74
ГЛ, I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Т огда
sup
со sCI a <i Ь ^ со
Рп{а, Ь]-
1' 2л
е~ *2''2 dx
¦ со.
(21)
С точностью до тех же самых замечаний, которые были сделаны по поводу
соотношения (5.8), результат (21) можно на вероятностном языке
сформулировать следующим образом;