Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
игрока (первый и второй), у которых начальные капиталы равны
соответственно (-А) и В. Если ?,• = +1, то будем считать, что второй
игрок платит единицу капитала первому; если же Н,- = - 1, то наоборот,
первый платит второму. Таким образом, 5* = ^ +.. •-)-?& можно
интерпретировать как величину выигрыша первого игрока у второго (если
Sfc<;0, то этот выигрыш есть на самом деле величина проигрыша первого
игрока второму) за k "ходов".
В тот момент времени k^ji, когда впервые Sk = B (Sk = A) капитал второго
(первого) игрока становится равным нулю, иначе говоря, происходит его
разорение. (Если k < п, то следует считать, что игра прекращается в
момент времени k, хотя само блуждание остается определенным до момента п
включительно.)
Прежде чем переходить к точным постановкам, введем ряд обозначений.
Пусть х -целое число из интервала [А, В] и для O^k^n пусть Sk - xrfSk,
т* = min {О sg; I sg: k: Si = А или в}, (1)
где условимся считать тI = k, если А < 5/ С В для всех O^l^k.
96
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для каждого 0и хе[Л, В] момент т*, называемый моментом остановки (см. §
11), является целочисленной случайной величиной, определенной на
пространстве элементарных событий Q (зависимость т* от со явно не
указывается).
Ясно, что для всех ("<& множество (со: = есть событие,
состоящее в том, что случайное блуждание (sf, O^is^k}, начинающееся в
нулевой момент в точке х, выйдет из интервала (Л, В) в момент I. Понятно
также, что для Is^k множества (со: т 1 = 1, 5* = Л( и (со: т? = /, имеют
смысл событий, состоящих'В том,
что блуждающая частица выйдет из интервала (Л, В) в момент I в точках Л и
В соответственно.
О б о з и а ч н м для всех Os^k^n
{(r):т? = /, 5/=Л},
{и:тk = i,si = B}, (2)
0
и пусть
ak (х) = Р (Wi), Р* (х) = Р (-М)
- вероятности выхода частицы за время [0, k] из интервала {А, В)
соответственно в точках Л и В. Для этих вероятностей можно получить
рекуррентные соотношения, из которых последовательно находятся аДх),
..., ап{х) и рх (х), ..., (3" (х).
Итак, пусть Л<г<Б. Ясно, что ос0 (х) = р" (х) - 0. Пусть
теперь 1 r^k^n. Тогда по формуле (8.5)
р* (х) = р (Ж) = р (ж! si - х +1) р (I, = 1) +
+ p(^|sf = x-i)p& = -u =
= рР (Ж \si = х+1) + дР(Ж! Si = х -1). (3)
Покажем, что
р (ж; Si = х +1) = р (ж±\), р (Ж j sf = х -1) = р (жЖ)-
С этой целью заметим, что множество Жк можно представить в виде
e5"i = {cо: (х, x-p^i, •••, хАг + • • • + ?*) *= где В), - множество
траекторий вида
(X, Х-р-Д, ..., Г -f Xj +,.. + г^)
с х,=-±1, которые за время [0, k\ впервые выходят из интервала (Л, В) в
точке В (рис. 15).
§ 9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. Г.
97
Представим множество В\ в виде В\' *+1 + В\' х где Bxk'i+l и - те
траектории из В\, для которых хг = +1 и хг = -1
соответственно.
Заметим, что каждая траектория (х, х+l, х+1+хг, ... ..., х + 1 + х2 +...
+ хк) из Bp *+1 находится во взаимно однозначном соответствии с
траекторией (я+1, х+1+х2, ..., x-j-1 -j-x2-j-.. .+xk) из Bk-\- То же
справедливо и для траекторий из В% Учитывая эти обстоятельства, а также
независимость, одинаковую распределенность величин и
формулу (8.6), находим, что
Р ! Si = X -f- l) = Р (а(r)* | = l) =
= Р{(а:, x + + +
+ • • •'+ Ik) ^ Bill 1 = 1} -
= p{(x+l, x-j-1 -j- |а, . . . , X-j-
+ 1 + h + • • • + Ы ^ Bxk±\\ =
- P { (x -f- 1, X + 1 + ^1, . . . , X - j-4" 1 +^1 + - • - + ?a-i) ^ 5*-
{} =
= P(^+1). Точно так же P(a(r)* | Sf = Я - l) = P
Таким образом, в силу (3) для х е (Л, В)
Ра (х) = pPa-i (x-j- 1) + ?Ра-1 (х~ 1).
где
M5) = l, Р/М) = 0,
Аналогично
ak (х) = рак_! (х + 1) + qak(х -с
аг(Л) = 1, а1(В) = 0, 0
Поскольку а0 (х) = р0 (х) = 0, я е (Л, В), то полученные рекуррентные
соотношения можно (по крайней мере в принципе) использовать для отыскания
вероятностей ах(х), ап(х) и Р^х), ..., Р"(а'). Оставляя в стороне
конкретное вычисление этих вероятностей, зададимся вопросом об их
значениях при больших я.
С этой целью заметим, что поскольку SS*k-\ с: k^ti, то
PA_! (х) С р* (х) С 1. Естественно поэтому рассчитывать (а так оно и
есть, см. п. 3), что при достаточно больших п вероятность Р" (х) близка к
решению р (х) уравнения
Рис. 15. Пример траектории из множества Вк.
(4)
; п. (5)
(6)
1)
Р(*) = рР (*+1)-НР (х - 1)
(7)
98 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
с граничными условиями
Р(В)=1, Р(Л) = 0, (8)
получаемых формальным предельным переходом из (4) и (5).
Для решения задачи (7), (8) предположим сначала, что рФц, Нетрудно
заметить, что рассматриваемое уравнение имеет два
частных решения а и b (д/р)х, где а и Ь - константы. Будем
поэтому искать решение р (х) в виде
Р (x) = a + b(q/p)x. (9)
С учетом (8) находим, что для всех АфхфВ
р = Wp)A (10)
(qlP)B~(qlP)A
Покажем, что это есть единственное решение рассматриваемой задачи. С этой
целью достаточно показать, что все решения задачи (7), (8) могут быть
представлены в виде (9).
Пусть р (х) - некоторое решение с р (А) = 0, р (В)= 1. Всегда
можно найти такие константы а и Ь, что
