Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 36

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 179 >> Следующая

существует взаимно однозначное соответствие. Тем самым формула (10)
доказана.
§ 10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. II.
109
Установим теперь справедливость равенства (11). В силу симметрии и (10)
достаточно показать, что
Вг*(51>0, ..., S2k > 0) -Т L2k (Sj 0, ..., S2,^0
и 3i, lci=^2&, такое, что S; = 0) = L2* (S2k = 0).
Множество путей (S2k - 0) можно представить в виде суммы двух множеств
сёх и W2, где Чэ1 - те пути (S0, ..., S2*), у которых только один
минимум, а ё 2 - пути, у которых минимум достигается по меньшей мере в
двух точках.
Пусть Сх е ё х (рис. 20) и у - точка минимума. Поставим пути Cx = (Sn,
Si,..., S2k) в соответствие положительный путь С?, полученный следующим
образом (рис. 21). Отразим траекторию (S0, Sx St) около вертикальной
линии, проходящей через точку I, и полученную траекторию сместим вправо и
вверх, выпустив ее из точки (2k, 0). Затем.сместим начало координат в
точку (I, -т). Полученная траектория С? будет положительным путем.
Рис. 21.
Точно так же, если путь С2 ее ё2, то тем же приемом ему можно поставить в
соответствие некоторый неотрицательный путь С*.
Обратно, пусть Cf - (Sx(>0, ..., S2k > 0) - некоторый положительный путь
c.S2ft = 2m (см. рис. 21). Поставим ему в соответствие путь Сх,
полученный следующим образом. Пусть р - та последняя точка, где Sp = m.
Отразим (Sp, ..., S2m) около вертикальной прямой х = р и сместим
отраженную траекторию вниз и влево, так чтобы ее правый конец совпал с
точкой (0,' 0). Поместим затем начало координат в левый конец полученной
траектории (это будет в точности траектория, изображенная на рис. 20).
Полученный путь Сх - (S0, ..., S2k) имеет минимум и S2k = 0. Аналогичная
конструкция, примененная к пути (Sx Ss 0, ... ..., S2A 5= 0 и 3i,
l=^i^2k, с S; == 0), приводит к пути, у которого по меньшей мере два
минимума и S2a = 0. Тем самым установлено взаимно однозначное
соответствие, которое и доказывает требуемый результат (11).
НО ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Итак, равенство (9), а следовательно, и формула {ы = иа(л-и - 1
•- ti^k -* "2g" ^2 (ft-1) установлены.
Из формулы Стирлинга
W2A = • 2 г--' ]/яй"1 ^'>со-
Поэтому
~ 2/й /fe3/2 ' ^°°'
Отсюда следует, что математическое ожидание времени первого возвращения в
нуль
Mmin(a2n, 2п) = 21 2feP (а2л = 2k) + 2пм2л =
? = 1 П
^ 2 (ft-1> "Ь 2лН2д
ft=J
является довольно-таки большим.
СО
Более того, 21 m2(a-d = oo, и, следовательно, предельное зна-1
чение среднего времени возвращения блуждания в нуль (при неограниченном
числе шагов) равно со,
Это обстоятельство поясняет многие неожиданные свойства рассматриваемого
симметричного случайного блуждания. Например, естественно было бы
ожидать, что за время 2п число ничьих при игре двух равносильных
противников (p = q= 1/2), т. е. число тех моментов времени i, для которых
S; = 0, должно быть пропорционально 2п. Однако на самом деле число ничьих
имеет порядок У"2я (см. [69]). Отсюда вытекает, в частности, что, вопреки
ожидаемому, "типичные" реализации блуждания (S0, Sx, ... ..., S") должны
иметь не синусоидальный характер (для которых примерно половину времени
частица проводит на положительной стороне и другую половину -на
отрицательной), а характер длинных затяжных волн. Точная формулировка
утверждения дается так называемым законом арксинуса, к изложению которого
мы сейчас и приступим.
2. Обозначим Р2*. гп вероятность того, что на отрезке [0, 2л] частица
проводит 2k единиц времени на положительной стороне *). Лемма 2. Пусть и0
= 1 и O^k^n. Тогда
Р2А, 2Я " 2&* 0
*) Мы говорим, что в интервале [т- 1, т] частица находится на
положительной стороне, если по крайней мере одно из значений Sm^i или Sm
положительно.
§ 10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. II, П1
Доказательство. Выше было установлено, что f2h ==> = "2 (а-1) - w2fe.
Покажем, что
k
^2ft - fir ' ^i(k-r)' (13)
r = 1
Поскольку {S2A = 0} s {a.2n ^ 2k), to
{S2ft = 0} = {S2A = 0}fl{a2"^2^}= 2 {52ft = 0)n{a2n = 2/}.
ls?is?ft
Следовательно,
"2ft = P(S2fc = .0)= S P(S2* = 0, ffa" = 20 =
l^l^k
= S P (^2* - 0 | a2ft = 21) P (ст2л = 21).
Ho
P (Sik = 0 I (r)гп = 2/) = P (S2k - 0 I Ф 0, ,.., S2i~i Ф 0, S2l - 0) = = P
(52;+ (|2/+i + - • - + ?2ft) = 0 I ф 0, ..., 52;_t Ф 0, S2l = 0) =з = P
(S2i + (t2z+1 +... + t2k) - 01 S2l = 0) =
P (|2i+1 + . . • + = 0) = P ($i (k-l) = 0)*
Поэтому
"2*= 1] P {$i (k-l) = 0) P (ст2л = 2/),
что и доказывает (13).
Перейдем к доказательству формулы (12). При k = 0 и k = ti ее
справедливость очевидна. Пусть теперь 1^^^/г -1. Если частица проводит 2k
моментов времени на положительной стороне, то она проходит через нуль.
Пусть 2г - момент первого возвращения в нуль. Возможны два случая: когда
Sh^s0, ?<:2г и 0, k^2r.
Число путей, относящихся к первому случаю, равно, как нетрудно видеть,
^'2~ 22,-/2гj ¦ 22 Ч С.Р2 2 (п-r) = ~2 ' • f2r • Р2 (k-r),
2 (я-/-)*
Во втором случае соответствующее число путей равно
~2 ' ^2Л ' fir' Р 2ft, 2 (п-гу Следовательно, для 1 ^k^n - 1
1 л 1 k
Pik,in - ~2 fir'Рг{к-г), i(n-r) ~*Г~2 T! Tv * Pjb, г (n-r)t (14) f=i
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed