Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 33

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 179 >> Следующая

Й + М<7/Р)Л=РМ), a-\-b (q/p)A+l - Р (Л+1).
Тогда из (7) следует, что
р(Л + 2) = а + М<7/АГ4+2
и вообще
Р (x) = a+b(q/p)x.
Тем самым найденное решение (10) есть единственное решение
рассматриваемой задачи.
Аналогичные рассуждения показывают, что единственное решение уравнения
а(х) - ра(х+ \)-\-qa(x-\), В) (11)
с граничными условиями
а (А) = 1, а (В) = 0 (12)
задается формулой
а(х) = (qlp)BB~(qlp)XA, А<х<В. (13)
' (q/P)B-(q/P)A
Если же р - ц-1/2, то единственными решениями р (х) и а(х) задач (7), (8)
и (11), (12) являются соответственно
(14)
5 9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. U
99
а(х)
В - Х В - А'
Заметим, что при любых 0 "S р ^ 1
"(*)+ Р (*) = !•
(15)
(16)
Величины а(х) и Р (х) хотелось бы назвать вероятностями разорения первого
и второго игрока соответственно (когда начальный капитал первого есть х -
А, а второго В - х) при неограниченном числе ходов, что, конечно,
предполагает; существование бесконечной последовательности независимых
бер-нуллиевских случайных величин ?ь ?2, где Ъ = + 1 трактуется как
выигрыш первого игрока, а ?,• = -1-как его проигрыш. Рассмотренное в
начале этого параграфа вероятностное пространство (й, Р) оказывается
слишком "бедным", для того чтобы на нем существовала такая бесконечная
последовательность независимых случайных величин.
В дальнейшем мы увидим, что такую последовательность действительно можно
построить и что величины р (х) и а (х) в самом деле являются
вероятностями разорения при неограниченном числе шагов.
Обратимся к некоторым следствиям, вытекающим из полученных формул.
Если положить Л = 0, 0 "gxsSB, то по своему смыслу функция р (х) будет
вероятностью того, что частица, вышедшая из состояния х, достигнет точки
В раньше, чем точки 0- Из формул (10) и (14) следует (рис. 16), что
Рис. 16. График Р (х) - вероятности достижения точки В раньше точки 0,
когда частица выходит из точки х.
Их)-
(Q/PY
Х/В, - 1
(?/р)
• 1
р--
р--
= ?=1/2,
= д.
(17)
Далее, пусть q> р, означающее, что для первого игрока игра является
неблагоприятной. Его предельная вероятность разорения " - а (0) задается
формулой
(д/р)Е
-1
А'
(<7/РГ - (<7/Р)
Предположим сейчас, что условия игры изменены: капиталы игроков по-
прежнему равны (- А) и В, но плата каждого игрока Теперь равна 1/2, а не
1, как раньше. Иначе говоря, пусть
100 гл. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
теперь Р (?,¦= 1/2) = р, Р = -1/2) = q. Обозначим в этом случае
предельную вероятность разорения первого игрока через ai/2. Тогда
(qlpfB- 1 1/2_(?/р)2В-(<?/р)2Л'
и, значит,
а, /о = а
(<7/Р) +(<?/Р)
а (Р/Р)В + 1 ч "
1/2 ---------- ,_чВ I / чЛ '
если q>p.
Отсюда вытекает такой вывод: если для первого игрока игра неблагоприятна
(т. е. q > р), то увеличение ставки в два раза уменьшает вероятность его
разорения.
3. Обратимся теперь к вопросу о том, как быстро ап (х) и Рп(х)
сходятся к предельным значениям а(х) и р(х).
Будем считать для простоты 1 = 0 и обозначим
a" = a"(0), p" = P"(0), = 1-К + р").
Ясно, что
уп = Р {AcSkCB, 0 где {A<iSk<iB, 0 sg; k п] обозначает событие
f| {A<Sk<B}.
0 < k < п
Пусть п = гт, где г и т - целые числа, и Cl = Cl + - • - + Cm>
?2 - Cm+1 + • • • + ?гт"
?/¦ - Cm (^-i)+i + -•- + С(tm)-
Тогда, если С = | Л| + В, то нетрудно убедиться в том, что
{A<Sk<B, 1 sg й sg rm] s {| Ci j < С, ..., |Cr|<C},
и, значит, в силу независимости величин tu ..., ?г и их
одина-
ковой распределенности
Y"^P{ISil<C, .... |С,|<СС} =
= П P{ISil<C} = (P{|S1|<C}r. (18)
i=i
Заметим, что DCi - m[l - (р - q)2\. Поэтому при 0<р<1 для достаточно
больших т
P{|-U<c}<elf (19)
где е1<1, поскольку если Р {j | sg С} = I, то D^sgC2.
§ 9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. I. 101
Если же р - 0 или р = 1, то для достаточно больших т
Р {! ! < С} = 0 и, следовательно, (19) выполнено при всех
Osg
< 1.
Из (18) и (19) следует, что для достаточно больших п
Уп < е", (20)
где е = е!/'"<1.
Согласно (16) а + р = 1. Поэтому
(a-a") + (P-P") = Y*,
и так как а^а", Р^Р", то
0 "g а - ап ?g уп =g Еп,
0<.р-ря<у"^вв, е<1.
Аналогичные оценки справедливы и для разностей а(х) - ап(х) и
РМ -Р"М-
4. Обратимся теперь к вопросу средней длительности случайного
блуждания.
Пусть mk (х) = Мт? - математического ожидание момента остановки т*,
&=gre. Поступая, как и при выводе рекуррентных соотношений для Ра(л:),
получаем, что для л:е(А, В)
mk (х) = Мт| = ^ /Р (т\ = /) =
= 2 l.[pP (t| = /|^=l)-)-^P (т* = /|^ = _1)] =
к
= 2 /-[рР(т^±1 = 1- l) + qrp (xiz\ = l- 1)] =
= 2 (/ +1) [pp (т^±! = /)+^p (t*z! = /)] =
= pmk-1(x+l) + qmk-1(x-l) +
+ s 1/>р(тг±1=/)+?р(тг=1-/)ь
= pmk.1 (a-+ 1 ) + qmk.l (x- 1) + 1.
Итак, для хё(Л, В) и 0=g/zsgre функции mk(x) удовлетворяют рекуррентным
уравнениям
тк (х)= 1 +ртк-г (х+ 1) + qmk.t (х - 1), (21)
где т0 (х) = 0. Из этих уравнений вместе с граничными ус-
ловиями
тк (А) = тк (В) - 0 (22)
можно последовательно найти (х), тп(х),
•02 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Поскольку mj (т) sg mj+1 (х), то существует предел т (х) = lim тп (х),
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed