Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
п -> со
который в силу (21) удовлетворяет уравнению
т (х) = 1 -\-pni (х-\-1) -\-qm (х - 1) (23)
с граничными условиями
гп (А) = т (В) - 0. (24)
Чтобы найти решение этого уравнения, предположим сначала, что
т(х)<С. со, хе(4, В). (25)
Тогда, если рфд, то частное решение имеет вид ---- и общее решение (см.
(9)) записывается в виде
m(x) = J^ + " + b(f)X-
Отсюда с учетом граничных условий т(А) - т(В)= 0 находим, что
т(х) = -^^(в^(х) + Аа(х)~х], (26)
где Р (х) и а(х) определяются из формул (10) и (13). Если же р - Ц= 1/2,
то общее решение уравнения (23) имеет вид
т(х) = а-\- Ьх - х2, и поскольку пг (А) = пг (В) = 0, то
т (х) =- (х - В)(х - А). (27)
Отсюда, в частности, вытекает, что если начальные капиталы игроков равны
(В = - А), то
т (0) = В2.
Возьмем В - 10, и пусть каждый ход в игре осуществляется через 1 с.,
тогда (предельное) среднее время до разорения одного из игроков довольно
велико -оно равно 100 с.
Формулы (26) и (27) были получены в предположении, что m{x)<i со, хе(4,
В). Покажем теперь, что и на самом деле т(х) конечны при всех хе(Д В).
Ограничимся рассмотрением случая х = 0. Общий случай разбирается
аналогичным образом.
Пусть p - q= 1/2. С последовательностью S0, Slt ..., Sn и моментом
остановки т" = тй свяжем случайную величину Sx ,
§ 9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. I.
103
определенную следующим равенством:
п
К= 2 5*/{т" =*}("). (28)
? = 0
Наглядный смысл величины ST^ ясен - это есть значение случайного
блуждания в момент остановки тл. При этом, если хп < <;н, то ST =Л или В;
если же т" = п, то A sg Sx s^В.
П П
Докажем, что при p = q-]/2
MSTn=0, (29)
MS^ = Мт". (30)
Для доказательства первого равенства заметим, что Z M[S*/{t(i=ft}(o>)] =
& -О
= Z M[S"/{v=*}(a)] + SM[(Sft-S")/{t(|=*}(ffl)] =
?:=0 6=0
= MS"+ J]M[(S*-S")/{t "*}(а")], (31)
ft=0
где, очевидно, MS" = 0. Покажем, что
J]M[(S*-S")/{T/I=4} (со)] = 0.
ft=0
С этой целью заметим, что для 0 ^k<Cn {т" ;> k] = {А<; <S1<.6, ...,
y4<Sft<5}. Событие {y4<Sx<B, Л<
<.Sk<cB} может быть, очевидно, представлено в виде
{о>: Ые= Л*}; (32)
где Ак - некоторое подмножество множества {-1, +1}*. Иначе говоря, это
множество определяется лишь значениями случайных величин ?х, ..., 1к и не
зависит от значений величин ЁА+1,..., Ел. Поскольку множество
{тл'= к} = {тл > k - 1} \ {тл > k),
то оно также является множеством вида (32). В силу независимости
случайных величин glt ..., \п и в силу задачи 9 к § 4 отсюда вытекает,
что для любого 0 ^ k < п случайные величины S" - S/t и /|Тл=А|
независимы, а значит,
М[(5Л ~ Зь) = ] = M[S" - 5ft]• М/[xn=kj -0.
104 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Итак, формула (29) установлена.
Тем же методом доказывается и формула (30):
М^п= 2 М5!/{Тл=*}= ? M([s" + (s*-s")]2 7 {*, = *>) =
*r = 0 fe=0
= [MS^/^Tn=,t| -f- 2MS" (5* - S") /^Tn==/tj -f-
*=o
•+M(Sn-Sft)a/{T)i=*}] = MS*- 2 M(Sn-Sft)2;{T^} =
k=0
n n
= я - 2 (" - ?) P (T* = = 2 (тл = A) = Мтл.
? = 0 k~о
Итак, для p = q-\/2 имеют место формулы (29), (30). В случае же
произвольных р и q (р + р=1) аналогично устанавливается, что
М5Хл = (р - q) • Мтл, (33)
М [5хя - тл ¦ ]2 = ОЁг • Мтл, (34)
где Щ1 = р- q, Dgj = 1 - (р - q)2.
С помощью полученных соотношений покажем, что lim mn(Q) =
п -* со
= т (0)< оо.
Если p = q= 1/2, то в силу (30)
Мтлг^ птах (Л2, В2). (35)
Если же рфр, то из (33)
м maxGAI^
\Р - Я I '
откуда ясно, что т(0) < со.
Заметим также, что в случае p - q= 1/2
MTn = MS^ = H2.an + B2-pn + M[Sfi/{H<Sre<B}] и, значит,
А2 ¦ ап + В2 • рл ==s Мтл < А2 ¦ а" + В2 • рл + гпах (А2, В2) ¦ уп.
Вместе с неравенствами (20) отсюда следует, что Мтл сходятся при оо к
предельному значению
т(0) = Л^ + В2Р = Л2.5^т-^.5-4т = ,1ЛВ|
экспоненциально быстро.
Аналогичный результат справедлив и в случае p=^q:
экспоненциально быстро Мтл т (0) - аЛ ^.
Р Я
% 10. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. II. 105
5. Задачи.
1. Показать, что в обобщение (33) и (34) справедливы следующие
формулы:
MS * =х + (р - q) Мт*,
2. Исследовать вопрос о том, к чему стремятся величины а (л:), Р (х) и
т(х), когда уровень А\ - со.
3. Пусть в схеме Бернулли р - q = 1/2 Г Каков порядок M|S"J при больших
п?
4. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) симметричные
моменты. Показать, что вероятность того, что у них после п подбрасываний
будет одно и то же число гер-
бов, равна 2~2п (Cnf• Вывести отсюда равенство (Cnf = Cin-
k=0 k=0
Пусть a" -тот первый момент, когда число гербов у одного игрока совпадает
с числом гербов у другого (совершается п подбрасываний, оп = п + 1, если
указанного момента не существует). Найти М min (о", п).
§ 10. Случайное блуждание. II. Принцип отражения. Закон арксинуса
1. Как и в предыдущем параграфе, будем предполагать, что =1, ?2, ...,
?2я - последовательность независимых одинаково рас-
пределенных бернуллиевских случайных величин с Р (Ь = 1) =Р> Р(& = -1) =
<7,
Su - • • 4~ 1 =sj й =sp 2 п\ S0 = 0.
Обозначим
о2П = min (1 k 2n: SA = 0},
полагая a2" = co, если БьФ 0 при всех \^k^2n.
