Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 37

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 179 >> Следующая

f=i
П2 гл. Г. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предположим, что формула P2fe, 2т = u2k ¦'U2m-2k верна для т = = 1, •••.
"-1. Тогда из (13) и (14) находим, что
1 * к Р 2k, 2Я = *2~ ^2n~2k ' fir ' ^2ft-2г "I" ту U2ft ' f 2r '
^2n~2r~2k =
г=1 Г=1
_ J_ 1 _
"2~ ^2П-2к * ^2ft "Г 2 ^2ft ' ^2П~2к " ^2ft ' ^2П-2к •
Лемма доказана.
Пусть теперь у (2п) - число единиц времени, которое частица проводит на
положительной оси в интервале [0, 2л]. Тогда для
р{|<^}= 2 ^
IT 1 26 1
У* т <";-<*/
Поскольку при k^>~C>0
, 2п-
уш*
то
Р2ft, 2я - ^2* ' ^2 (я-ft) '
JT Уk (tl - k) ' если k^~co, n-k^-oo.
Поэтому
2 2
f, 1 2ft I fL 1 2ft ^ I
откуда
2 Р2к.2П-~ f ^ +0, П + О0.
{*?<?<*} }
Но из соображений симметрии
2 P^k, 2n T)~
{- Ui]
dt
Vnj^t)
1 С dt 2 . 1
- I r ¦ = - arcsin У x K AVt(\-t) n
I/a
Тем самым доказана следующая
Теорема (закон арксинуса). Вероятность того, что доля времени,
проводимого частицей на положительной стороне, меньше
% 10 СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. [.
113
или равна л, стремится к 2л-1 arcsin ]/лч
У ¦ш 2я-1 arcsin У л:.
Заметим, что подынтегральная функция р (t) в интеграле
1 Г dt
я ,) Vt (1-0'
о
представляет U-образную кривую, уходящую в бесконечность в точках / = 0 и
/=1.
Отсюда следует, что при больших п
Р{о<т<д)>р{т<т-"1+4!-
т. е. более вероятно, что доля времени, проводимой частицей на
положительной стороне, будет близка к нулю или единице, нежели к
естественно ожидаемому значению 1/2.
Пользуясь таблицами арксинуса и тем обстоятельством, что на самом деле
скорость сходимости в (15) очень быстрая, находим, что
(2л) ^ 2п 0,024}^ ="0,1,
I У (2л) \ 2п ^0,1}, ="0,2,
1У (2л) \ 2п ^0,2}, ="0,3,
^сО.бб}, ^0,6.
Таким образом, если, скажем, п= 1000, то примерно в одном случае из
десяти частица проводит всего лишь 24 единицы времени на положительной
оси и, значит, большую часть времени - 976 единиц -на отрицательной оси.
3. Задачи.
1. С какой скоростью М min (о2п, 2")->-со при п->- оэ?
2. Пусть тя = шт{1<й<п: St=l), считая, т" = со, если Sk < 1 при всех 1 s^
ks^ti. К чему стремится Мтт(т", п) при п-*-оо для симметричного (p = q =
1/2) и несимметричного (р ф а) блужданий?
114 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию
1. Рассмотренные выше бернуллиевские случайные величины Е1( \п
образовывали последовательность независимых случайных величин. В этом и
следующем параграфе будут введены два важных класса зависимых случайных
величин, образующих мартингал и марковскую цепь.
Теория мартингалов будет детально излагаться в гл. VII. Сейчас же будут
даны лишь необходимые определения, доказана одна теорема о сохранении
мартингального свойства для моментов остановки и дано ее применение к
выводу так называемой теоремы о баллотировке. В свою очередь эта
последняя теорема будет использована для иного доказательства утверждения
(10.5), полученного выше с применением принципа отражения.
2. Пусть (Й, о/?, Р) - конечное вероятностное пространство,
?=••• - ^п - некоторая последовательность разбиений. Определение 1.
Последовательность случайных величин ?-!, ..., \п называется -мартингалом
(относительно разбиений
если:
1) ?.к являются .^-измеримыми,
2) М (?*+!№ = ?*. !<*<"- 1-
Чтобы подчеркнуть, относительно какой системы разбиений случайные
величины ..., образуют мартингал, будем для его обозначения использовать
запись:
I = (Ik, (1)
часто опуская для простоты указание на то, что l^ks^n.
В том случае, когда разбиения порождаются величинами
lL, ..., lk, т. е.
= .......
вместо того, чтобы говорить, что g = (?ft, &к) - мартингал, будем просто
говорить, что последовательность | = (|*) образует мартингал.
Остановимся на некоторых примерах мартингалов.
Пример 1. Пусть ци ..., цп - независимые бернуллиевские случайные
величины с
Р(ть=1) = Р (ти = -1)= 1/2,
SA = rh + ... + Tlft и =
Заметим, что структура разбиений проста:
^ = D-},
§ 11. МАРТИНГАЛЫ И5
где ?>т=(ш: ^=+1}, D~={со: % = - 1},
^2 = {D++, D+-, D-+, D~},
где
D++ = {co: т),="+1, г|2 = -Ь1}" .... D- = {со: г)1== -1, т]2 = - 1} и т.
д.
Нетрудно понять также, что ..., nft = •^rs1 sft.
Покажем, что последовательность (5*, Ш?ь) образует мартингал.
Действительно, Sk ^-измеримы и в силу (8.12), (8.18) и (8.24)
М (Sft+11 (r)к) = М (5, + л*+11 <^*) =
= М (Sfc J ^k) + М (Л*+1 | &k) - S/t + МЛ/г+1 = 5/г*
Если положить S, = 0 и взять D0 - {Q} -тривиальное разбиение, то
последовательность (Sk, & к)атакже будет мартингалом.
Пример 2. Пусть %, ..., г\п - независимые бернуллиевские случайные
величины с Р(тр=1) = р, Р(л<=-1) = <7- Если рфц> то каждая из
последовательностей \ = (|*) с
Ь = (у) *. h = Sk-k(p-q), где 5* = t)1 + ... + tia,
образует мартингал.
Пример 3. Пусть л - некоторая случайная величина, @)1 = ....
Б* = М(л|^). (2)
Тогда последовательность ? = (?*, &к) образует мартингал. В самом деле,
J^-измеримость М (т| | ?32к) очевидна и, согласно (8.20),
М (gft+11 (r)k) = М [М (Л | 1 (r)k\ = М (л | &к) =
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed