Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим заметим, что если ? = (|ft, &k) - произвольный мартингал,
то в силу формулы (8.20)
Ik = М (Ь+1 \(r) ь) = М [М (Ел+21 &к+1) | (r)к\ =
= м (ь+21 ^k)=...=м (LI &к)- (3)
Таким образом, множество всех мартингалов ? = (?*, &к) исчерпывается
мартингалами вида (2). (Заметим, что в случае бесконечных
последовательностей ? = (?*, ^к)к^\ это, вообще говоря, Уже не так; см.
задачу 7 в § 1 гл. VII).
Пример 4. Пусть Ли •••" Лл - последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, 5* = Л1 + -.. ".. + Л*и^Г1 = ^rs1,^'2 =
^rsI, 5,,...,^" = ^,..., sn- Покажем, что
последовательность 1-Цк, &к\ с ?i = ^, Ъг = ~\> •••. I* =
116
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
С
~ ~п~~Г^к ' > образует мартингал. Во-первых, ясно,
что и Eft ^-измеримы. Далее, в силу симметрии для
/ sg а - k -j-1
М (г)у I ^ а) = М (т]г | 3?к) (4)
(ср. с (8.26)). Поэтому
(п - к + 1) М (rp j S'*) =2 М (Лу i ^к) = М (S"_*+11 Sy) = -S. ..
/= i
а значит,
Е.-7Йтг = м"п,1^).
и мартингальность последовательности ? = (|й, 3?h) следует из примера 3.
Пример 5. Пусть гр, ..., t]" - независимые бернуллиевские
случайные величины с
Р (Л- = + 1) = Р (r}i = - 1) = 1/2,
5* = iii -f-... + и/... Пусть Л и В-два целых числа, Л < 0 < В. Тогда для
всякого 0 < Я < п/2 последовательность | =* (?*, &") с - .д Sl Sk и
Е/г = (cos Х)-к exp j/A (о* - ^Цг^)} (fy
образует комплексный мартингал (т. е. действительная п комплексная части
Е/г - мартингалы).
3. Из определения мартингала • следует, что математическое ожидание
М|л одно и то же для всех к:
М?/г = MEj.
Оказывается, что это свойство останется справедливым, если вместо момента
к взять случайный момент.
Для формулировки этого свойства введем такое Определение 2. Случайная
величина т = т (со), принимающая значения 1, 2, ..., п, будет называться
моментом остановки (относительно разбиений (2Р k,)к*<л,-(r)\ s У? г S...S
i^"), если для любого k-\, п случайные величины /{Х=а}(ы)
являются
0$ ft-измеримыми.
Если трактовать разбиение h как разбиение, порожденное
наблюдениями за k шагов (например, = .- разбиение,
порожденное величинами гц, г\к), то .^-измеримость величины /{x=ft}(w)
означает, что осуществление или неосуществление события \х - к\
определяется лишь наблюдениями за к шагов (и не зависит от "будущего").
§ 11. МАРТИНГАЛЫ I'7
Если S3k = а(&к), то .^-измеримость величин 1{Х=к} (<•>) эквивалентна
предположению, что
{х-k) е <03к. (6)
С конкретными примерами моментов остановки мы уже встречались: таковыми
являются моменты т?, а2", введенные в §§ 9 и 10. Эти моменты являются
частным случаем моментов остановки вида
%А = min {0 <6=^
оА = min {0 п: ^
являющихся моментами (соответственно первого после нуля и
первого) достижения множества А некоторой последовательностью
?о ' ?i> • • ¦" ?л-
4. Теорема 1. Пусть ? = (?*, ^*)к*<л~ мартингал и т - некоторый момент
остановки относительно разбиений (SAк)\
Тогда
M(St|^r1) = g1, (8)
где
П
?т= 2 %kl{x = k) (со) (9)
к =1
U
= (10)
Доказательство (ср. с доказательством формулы (9.29)). Пусть D е Тогда,
пользуясь свойствами условных математических ожиданий и (3), находим, что
М (IJn)
M(|t| D)- '**>>-
Р (D)
П
• У M(^-/{T=0-/D) =
P(D) Ф
1= l
P(D)
i = i
и
= PW 2 М[М (^7{-=о-^1^)1= 1=\ п
= р (D) ф ^ [?я/{т=1} ' /д] =
1 = 1
= рдд-М(ея/р) = М(|"|0),-
118 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
а следовательно,
М(Ы^) = М(Ы ^Неравенство М^Т = М?1 следует отсюда очевидным образом.
Теорема доказана.
Следствие. Для мартингала (Sk, &k)\из примера 1 и любого момента
остановки т (относительно справедливы
формулы
М5Т = 0, MS|=Mt, (11)
называемые тождествами Вальда (ср. с (9.29) и (9.30); см. также задачу 1
и теорему 3 в § 2 гл. VII).
4. Используем теорему 1 для доказательства следующего утверждения.
Теорема 2 (теорема о баллотировке). Пусть г[1, г\"-
последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, принимающих неотрицательные целочисленные значения, Sk - т]?,
1 k п. Тоеда
Р {S* < k для всех 1 k п | S"} = ^1 - ~^+1 (12)
где a+ = max(a, 0).
Доказательство. На множестве {со: Sn^n\ формула очевидна. Будем поэтому
доказывать (12) для тех элементарных исходов, для которых 5"<га.
Рассмотрим мартингал ? = (?*, Srk)i^k?~n с lh = -n+\~!Lk и &k = Dsn+1
.... sn. введенный в примере 4.
Определим
т = min {1 k^п: ?*5=1},
полагая х = п на множестве ||*<1 для всех 1 С & С л} =
= I max -<. ll. Понятно, что на этом множестве |t = |" = S1 =0 и,
4=sfs=n 1 1
значит,
/шах l) = (max 1, S" < п] s{?t = 0}. (13)
Рассмотрим теперь те исходы, для которых одновременно max^Ssl и S"<n.
Обозначим а = я + 1- т. Нетрудно видеть, что
a = max {1 Sh^k]
и, значит, (поскольку Sn<.n) o<Ln, Sa^o и 5а+1<!ог + 1. Следовательно,
т]а+1 = Sa+1 - Sa < (а +1) - а = 1, т, е. т]а+1 = 0, Поэтому
§ 11. МАРТИНГАЛЫ
119
o^Sn = S(j+1<a4-1, а следовательно, Sa = o и
Тем самым
(max^s&l, S"<n\E{?t= 1}.
(14)
Из (13) и (14) находим, что
Поэтому на множестве {S"<n}
P(max ^^l|S"\ = P{gt=l|SII} = M(gt|SfI),
