Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что подпространство 5 (?) является тривиальным, и,
следовательно, последовательность | регулярна.
Теорема доказана.
Замечание. Из проведенного доказательства следует, что невырожденная
последовательность | является регулярной тогда и только тогда, когда она
допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего
СО
?/¦ = (5)
k=0
где ? = (s") - некоторая ортонормированная система, которая (это важно
подчеркнуть!) не обязательно удовлетворяет условию Нп(\) = Нп(ъ), Z- В
этом смысле утверждение теоремы 2 говорит о большем, а именно о том, что
для регулярной последовательности | найдутся такие а = (ап) и
ортонормированная система ё = (ёл), что наряду с (5) будет справедливо
представление (3), для которого Нп (I) = Нп (е), hgZ.
Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает Теорема 3 (разложение Вольда).
Если | = (Ел) - невырожденная стационарная последовательность, то
СО
In = In + Uk&n-k> (6)
k~0
oo
где 2 I ak I2 < 00 11 e = (En) - некоторая обновляющая последовало
тельность (для \г).
3. Смысл введенных выше понятий регулярной и сингулярной
последовательностей становится особенно ясным при рассмотрении следующей
задачи (линейной) экстраполяции, для общего решения которой оказывается
весьма Полезным использование разложения Вольда (5).
Пусть Н0 (|) = Z2 (|°) - замкнутое линейное многообразие, порожденное
величинами |° = (..., ?_ь ?0). Рассмотрим задачу построения оптимальной
(в среднеквадратическом смысле) линейной оценки |'" величины по "прошлым"
наблюдениям |° = (.l-lt |0). Из § 11 гл. II следует, что
|я=мая|я0(|)).
(7)
442 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
(В обозначениях п. 1 - я0 (?").) Поскольку 1Г и ортого-
нальны и Н0(1) = Н0{\Г) 0 H0{ls), то с учетом (6) находим
In = М (? + Гп ! Я0 (?)) = М & | Яс (?)) + М (1Гп | Я0 (I)) =
= М (& \ Я0(|г) (r) Я0 (Г)) + М (!я ! Я0(Г) (c) я0(О) -=
М(^|Я0(Г))+М(^)Я0(Г)) =
/00
= Ел + М J 2 akBn-k | Я о (ЕО)-
\А=0
В (6) последовательность е = (е") является обновляющей для \г - = {ъгп)
и, значит, Я0 (10 = я0 (е). Поэтому
/СО \ СО
Ел = Ел + м ( 2 акгп-к [ Я0 (е) } = ^ -(- 2 aken-k (8)
U=0 / ?=л
и среднеквадратическая ошибка предсказания ?" по |° = (..., |_t, |0)
равна
oi = M|S"-t|I=S [а* Iя. (9)
*=о
Отсюда вытекают следующие два важных вывода.
a) Если последовательность ? сингулярна, то для любого n ^ 1 ошибка
(экстраполяции) о% равна нулю, иначе говоря, возможно безошибочное
предсказание \п по "прошлому" |° = (..., ?_х, |0)-
b) Если последовательность | регулярна, то On^gOn+i и
СО
Vimol=^\ak\\ (10)
л-*со
Поскольку
111 fl* Is = м I Р,
то из (10) и (9) следует, что
-0 л-> оо,
т. е. с ростом п прогноз величины %п по Е° = (.?_х, ?0) становится
тривиальным (совпадающим просто с М?" = 0).
4. Будем предполагать, что ? - невырожденная регулярная стационарная
последовательность. Согласно теореме 2 всякая такая последовательность
допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего
СО
1п = ^аквп-к, (11)
?=D
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА
443
где 2 I аь I2 < °о и ортонормированная последовательность е = (е") *=о
обладает тем важным свойством, что
Нп (I) = Нп (е), neZ. (12)
Представление (11) означает (см. п. 3 § 3), что \п можно рассматривать
как сигнал на выходе физически осуществимого фильтра с импульсной
переходной функцией а = (аА), Я^О, когда на вход подается
последовательность е = (е").
Как и всякая последовательность двустороннего скользящего среднего,
регулярная последовательность имеет спектральную плотность /(Я). Но то
обстоятельство, что регулярная последовательность допускает представление
в виде одностороннего скользящего среднего, позволяет получить
дополнительную информацию о свойствах спектральной плотности.
Прежде всего ясно, что
где
Положим
/(*)=2?г!ф(*)12,
Ф {ty='?ie~iuak, 21а*12<со- (13)
*=0 *=0
Ф(г) = 2а*2*- (14)
*=о
Эта функция является аналитической в открытой области (г|<1
СО
и в силу условия ?]|aft|2<;co принадлежит так называемому
k-o
классу Харди Н2, т. е. классу аналитических в области j г | С 1 функций g
= g{z), для которых
Я
SUP i t \g(reie)l2 dQ<co. (15)
0sg/-<l J .
Действительно,
Я СО
- J |O(^e)|2d0= 2 I Iя '¦**
-я k= 0
sup 2 |a*|V2A^ 2 |"*|2<°o.
0<r<l
В теории функций комплексного переменного доказывается, что граничное
значение Ф(еа), -я^Я<л, тождественно не
444 ГЛ VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
равной нулю функции Фе//! обладает тем свойством, что л
J In | Ф (е~а) | dX > - оо. (16)
-л
В рассматриваемом нами случае
J_
2л
где Ф е Я2. Поэтому
In / (А,) = - In 2я + 2 In | Ф (е~а) |,
и, следовательно, спектральная плотность /(А,) регулярного процесса
удовлетворяет условию
а
§ In / (A,) dX > - оо. (17)
-Я
С другой стороны, пусть спектральная плотность / (А,) такова, что
выполнено условие (17). Опять-таки из теории функций комплексного
переменного следует, что тогда найдется такая
ОО
функция Ф(z)='^iakzk, принадлежащая классу Харди Я2, что к=о
