Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 141

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 179 >> Следующая

Я
^ e-'lme<'XrdX = 0.

Теорема доказана.
Замечание 1. Разлагая функцию ф"(Х) в ряд Фурье
фл (Я) = С0 + -f- С -гС-2'1 +...,
находим, что прогноз §" величины я 3=1, по прошлому |° = = (..., |_1, ?0)
определяется формулой
\п ~ Со?0 4- С-ll-l + С-2? 2 + • • •
Замечание 2. Типичным примером спектральной плотности, представимой в
виде (4), является рациональная функция
Р 2

Q
где полиномы Р (z) - а0 + aiz +... + и Q (г) = 1 + biz +... + bqzq не
имеют нулей в области {г: )г|г^1}.
Действительно, в этом случае достаточно положить Ф (г) =
ОО
= Р (z)/Q (г). Тогда Ф (г) - 2 Ckzk, причем радиус сходимости этого
*=0
ряда больше единицы.
Приведем два примера, иллюстрирующих теорему 1.
Пример 1. Пусть спектральная плотность
^ ^ = 2п ^ ^ cos
Соответствующая ковариационная функция R(ri) имеет "треугольный" вид:
Д(0) = 5, Д(±1) = 2, /?(я>=0 при |"(=3= 2. (11)
Поскольку рассматриваемая спектральная плотность может быть представлена
в виде
J_

/(Х)=^|2 + е-*|2,
та возможно применение теоремы 1. Легко находим, что
Фх W = eiK (Х) = 0 ПРИ " ^ 2- (12)
Поэтому для всех я 3= 2 |" = 0, т. е. (линейный) прогноз значения \п по
?* = (..., i-i, ?0) является тривиальным, что совсем неудивительно, если
заметить, что, согласно (11), корреляция между и любой из величин ?0i S-
i. ••• равна нулю для яЗз2.
I 6 ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ 449
Для п - 1 из (6) и (12) находим, что
ii" J *а2TFKz(dX) =

"И Т-Цгм-2 |
-я I И-2" ) А=0 -я
= \ Lzd^k- 1? _J_t .
2*+1 2 So 4 "T"'
A = 0
Пример 2. Пусть ковариационная функция R (n) = an, \a\cl.
Тогда (см. пример 5 в § 1)
f _____1 1 - j а \г
~ 2л | 1-ае-^,а '
т. е.
f(K)^±-\0(e^)\\
где
ф(г)^(1,-^1/2.==(]-)ар)|/2 2 (az)\ откуда ф"(X) = ап и, значит,
Л
t" = $ anZ (dk) = а%.

Иначе говоря, для прогнозирования величины ?•" по наблюдениям |° ==(...,
g_lt ?0) достаточно знания лишь последнего наблюдения |0.
Замечание 3. Из разложения Вольда регулярной последовательности ? = (In)
С
СО
L=5>*L-/e (13)
* = 0
следует, что спектральная плотность f(k) допускает представление
/М = ^|Ф(^А)|2, (И)
где
Ф(г) = |] а*г*. (15)
А = 0
450 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно, что и обратно, если f (Я) допускает представление (14) с
функцией Ф(г) вида (15), то разложение Вольда для имеет вид (13). Таким
образом, задача представления спектральной плотности f(k) в виде (14) и
задача отыскания коэффициентов ak в разложении Вольда эквивалентны.
Сделанные в теореме I предположения относительно функции Ф(г) (отсутствие
нулей в области |г|с1 и г>1) на самом деле не нужны для ее
справедливости. Иначе говоря, если спектральная плотность регулярной
последовательности представлена в виде
(14), то оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка \п Величины \п
по ?° = (.|_1, ?0) определяется формулами (6) и (7).
Замечание 4. Теорема 1 (вместе с предшествующим замечанием) дает решение
задачи прогноза для регулярной последовательности. Покажем, что на самом
деле тот же ответ остается в силе и для произвольной стационарной
последовательности.
Точнее, пусть ?" = ?*+?;,, ln= $ eiXnZ(dk), F (Д) = М | Z (Д)|2
и

Г (к) = | Ф(е-Д))2 - спектральная плотность регулярной после-
довательности = (?"). Тогда оценка определяется формулами
(6) и (7).
В самом деле (см. п. 3 § 5), пусть
L = I к (к) Z (dk), !rn = f & (I) Zr (dk),
-Л -Л
где Zr (Д) - ортогональная стохастическая мера в представлении регулярной
последовательности ?г. Тогда
М\1п-%п \2 = I | е*п - ф" (Я) |" F (dk) ^

\ \e^-$n(X)i*fr{X)dk^ l\ean-$rn(k)\2fr(k)dk^
-Л -Л
= (16)
Но lrt-in=\n- %г, поэтому М [|"- l"|2 = Mjt^- !п|2, и из (16) следует,
что в качестве ф" (Я) можно взять функцию фл(Я).
2. Интерполяция. Будем предполагать, что | = (?л) - регулярная
последовательность со спектральной плотностью f (Я). Простейшей задачей
интерполяции является задача построения оптимальной (в
среднеквадратическом смысле) линейной оценки по результатам наблюдений
{?", n = zhl, ± 2, ...} "пропущенного" значения ?0.
§ 6. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ФИЛЬТРАЦИЯ 451
Обозначим через Я0 (g) - замкнутое линейное многообразия, порожденное
величинами \л, пф 0. Тогда в соответствии с теоремой 2 § 3 всякая
случайная величина цеЯ1 (?) представима в виде
т)= J <p(k)Z(dk),
- Я
где ф принадлежит Я0 (F) - замкнутому линейному многообразию,
порожденному функциями eihn, пфО, и оценка
l0~] $(k)Z(dk) (17)

будет оптимальной тогда и только тогда, когда
Л
inf М | ?0 - г) )2 = inf \ 11 - ф (к) |2 F (dk) =* чен"(1) <реннп
- f J 1 - ф (Я) |2Я (ЯЛ) = М |g0 - 1о|2.

Из свойств "перпендикуляров" в гильбертовом пространстве H°(F) вытекает,
что функция ф (к) полностью определяется (ср. с (16)) двумя условиями
1) ф (k)<=H°(F), П8
2) 1 -$(k)±H°(F). ' '
Теорема 2 (Колмогоров). Пусть | = (1") - регулярная последовательность с
Л
<Ю)
Тогда
где
ф(^) = 1-7|г, (20)
"=-#-, (21)

и ошибка интерполяции б2 = М ( - lo Р задается формулой
б2 =
=2л-а.
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed