Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
/ N - 1
m/me)=m U- 2
\ k=0
Более того, из теоремы 4 § 3 вытекает, что при условии
N
jjr 2 R (k) -*¦ 0, N оо, рассматриваемая оценка является также к=а
Ы = т.
(2)
системе
(39)
§ 4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ 431
и состоятельной (в среднеквадратическом смысле), т. е.
М [ (I) - т |2-> О, N-+00. (3)
Займемся теперь вопросом оценивания ковариационной функции R(n),
спектральной функции F(X)=F([-л, А]) и спектраль-
ной плотности f(X), предполагая, что т = 0.
Поскольку R (п) - то в качестве оценки этой вели-
чины по результатам N наблюдений х0, хх, ..., xN-\ естественно взять (для
0^n<N) величину
N-n - l
Rn (п; X) = д, ^ ^ Хп+ьХь.
4=0
Ясно, что эта оценка является несмещенной в том смысле, что
МRN(n\ l) = R(n), 0^n<N.
Рассмотрим теперь вопрос о ее состоятельности. Подставляя в (3.37) вместо
Е* величины и предполагая у рассматривае-
мой последовательности Е = (Е") существование четвертого момента
(МЕо<оо), находим, что условие
N-1
Y 2 N-+00, (4)
4 = 0
является необходимым и достаточным для того, чтобы
М | Rn (п\ Е) - R (п) |2 -> 0, N-+co. (5)
Предположим, что исходная последовательность Е = (?") является
гауссовской (с нулевым средним и ковариацией R{n)). Тогда в силу
(11.12.51)
М [ln+kh - R МШо - R (")] = ЩпыЫпЪ ~ R2 (п) =
= Щп+klk ¦ МЫо + Щп+kln • МЕ*Ео + МЕл+*Ео ¦ МЫп - R2 (п) =
= R2 (k) + R (п + k) R (п - к).
Поэтому в гауссовском случае условие (4) эквивалентно условию N- 1
7Г 2 [Я2(*) + Я(" + *)Я("-*)]->0, N-+00. (6)
4 = 0
Поскольку | R (n + k) R (п - k) | | R (п + k) |2 + | R (п - k) |2, то из
условия
N- 1
± 2 R2(k)-+0, N-+ со, (7)
4=0
432 ГЛ VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
вытекает и условие (6). В свою очередь, если (6) верно для п = О, то
выполняется условие (7).
Таким образом доказана следующая
Теорема. Пусть ? = (?") - гауссовская стационарная последовательность с
М?л = 0 и ковариационной функцией R(n). Тогда выполнение условия (7)
является необходимым и достаточным для
того, чтобы при любом п Ss 0 оценка RN (п; х) была состоятельной в
среднеквадратическом смысле (т. е. чтобы было выполнено условие (5)).
Замечание. Если воспользоваться спектральным представлением
ковариационной функции, то получим
N - 1 л л N - 1
± 2 = j j i 2 eiiX~v)kFmF{ix)=-.
6=0 -Л-Л 6=0
= \ 5 Ы*. v) F (dk) F (dv),
- Я - Л
где (ср. с (3.35))
Г 1, Х = 0,
fu{K v) = | 1 _еТ(Х-V) Л/ ^ ^
Но при п-*-оо
UK V) -/(A. v)={'; *"v;
Поэтому
iV - 1 ЛЯ
^ R2(k)-+ J J f(K v)F(dX)F(dv) =
6=0 - Л - Я
= f F({k})F(dk) = ?l"({k}),
- л X
где сумма по X не более чем счетна, поскольку мера F конечна. Тем самым
условие (7) эквивалентно условию
2f2(W)=o. (8)
к
означающему, что спектральная функция F (X) = Е ([-л, А,]) является
непрерывной.
2. Перейдем теперь к вопросу построения оценок для спектральной
функции F (X) и спектральной плотности f(X) (в предположении, что она
существует).
§ 4 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
433
Естественно напрашивающийся путь построения оценок спектральной плотности
следует из проведенного выше доказательства теоремы Герглотца. Напомним,
что введенная в § 1 функция
/ лг(Я) =
2л
1
N
R(n)
(9)
| п < N
обладала тем свойством, что построенная по ней функция
Fn (Я) = \ In (v)dv
- Я
сходилась в основном к спектральной функции F (Я) Поэтому, если F (а)
имеет плотность / (Я), то для каждого 1е[-я, л)
$ fn (v) dv \ f (v) dv.
(10)
Исходя из этих фактов и вспоминая, что в качестве оценки R (п) (по
наблюдениям х0, хг, ... , x^-i) брались величины Rn (п, х), возьмем в
качестве оценки / (Я) функцию
<п)
| п < N
полагая RN (п\ х) = RN (| п [; х) для всех | п | < N
Функцию fN (Я; х) принято называть периодограммой, и нетрудно проверить,
что ее можно представить также в следующем несколько Солее удобном виде:
fN(K, х) =
1
2nN
N- 1
х"е
(12)
Поскольку МRn (п\ |) = R (п), j п | < N, то
МДг (Я; t) = fN (Я).
Если спектральная функция F (Я) имеет плотность / (Я), то, учитывая, что
/лг(Я) может быть записана также в виде (1 34), найдем, что
N - 1 N - 1 я
2 2 S (v)dv =
4=01=0 -Я Я N -I
-Я 4=0
f (v) dv.
434 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Функция
N - 1 pikk 9 1 sln - iV
L ft =0 ~ 2nN sin Х/2
называется ядром Фейера. Из свойств этой функции известно, что для почти
всех Я (по мере Лебега)
(13)
Поэтому для почти всех Я е [- л, л)
МЫЯ; ?)-*/(Я), (14)
иначе говоря, оценка ^у(Я; х) спектральной плотности / (Я) по наблюдениям
х0, хи ..., Xjv-i является асимптотически несмещенной.
В этом смысле оценку fiv(k; х) можно было бы считать достаточно
"хорошей". Однако на индивидуальных наблюдениях х0, ... ..., Xx-t
значения периодограммы /^(Я; х) оказываются, как правило, далекими от
истинных значений / (Я). В самом деле, пусть I = (!") - стационарная
последовательность независимых гауссовских случайных величин, g"~<^(0,
1). Тогда /(Я)==1/2л, а
N- 1
!м(к 1) =
2jt
Vn
k = 0
Поэтому при Я = 0 In (O', I) по распределению совпадает с квадратом
гауссовской случайной величины r|~(r)^(0, 1). Отсюда при любом N
