Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(согласно (2.14)). Значит, Ф {f) = e7(f) (Р-п. н.).
Возьмем функцию f(k) - elKn. Тогда в силу (4) Ф (е,Хл) = и,
П
с другой стороны, о7(е,Лл)е= J pXnZ (dk). Поэтому в силу (7)
-* Я
(Р-п. н.)
? n~]e*"Z(dk), п<= Z.
-- Л
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть ? = (?") - стационарная последовательность, состоящая
из действительных случайных величин ?л, леZ.
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 421
Тогда стохастическая мера Z = Z(A), участвующая в спектральном
представлении (2), такова, что для любого Де<з(r)([-л, л))
Z (Д) = Г(=Д), (9)
где множество -Д = {Я,: -ЯеД}.
В самом деле, пусть f(h)= }^ake'kk и ц = (суммы конеч-
ные). Тогда / г) и, значит,
= (10)
Поскольку /д (Z) <-> Z (Д), то из (10) вытекает, что /д (-Z)<-"Z(A) или
/_Д(Я) <-* Z (Д). Но, с другой стороны, /_Д(Я)<-* Z(-Д). Поэтому Z (Д) =
Z (- Д) (Р-п. н.).
Следствие 2. Пусть снова ? = (?л) - стационарная последовательность, где
|п - действительные случайные величины, и Z (Д) = Zj (Д) + (Z2 (Д). Тогда
для любых и Д2
MZ1(A1)Z2(A.j) = 0, (11)
и если Д) П Д2= Ф. то
MZ1(A1)Zl(A,) = 0, MZl(A1)Z,(A,)=0. (12)
Действительно, поскольку Z(A) = Z(-Д), то
Zj (- Д) = Z, (Д), Z,(- Д) = -Zt(A). (13)
Далее, так как MZ (Д,) Z (Д2) = М Z(AJnA2)|2, то ImMZ(A1)X xZ (Д2) = 0,
т. е.
MZj (At) Z2 (Д2) + MZ2 (At) zx (Д,) = 0. (14)
Взяв вместо Дх интервал - Дх, находим отсюда
MZ, (- Д,) Z2 (Д2) + MZ2 (- Дг) Z, (Д2) = 0,
что в силу (13) преобразуется к виду
MZj (Д,) Z2 (Д2) - MZ2 (Д,) Z* (Д2) = 0. (15)
Из (14) и (15) получаем равенство (11).
Если же Дг П А2 = ф, то MZ (Д,) Z (Д2) = 0, откуда Re MZ (Д,) х xZ(A2)=0
и ReMZ(-Aj)Z(Д2) = 0, что вместе с (13) очевидным образом доказывает
равенства (12).
Следствие 3. Пусть | = (|л) - гауссовская последовательность. Тогда для
любого набора А,, ..., Д* вектор (Zt(Aj), ... ..., Z1(Afe), Z2(Ai), ...,
Z2(Aft)) имеет нормальное распределение.
В самом деле, линейное многообразие Ц (?) состоит из (комплекснозначных)
гауссовских случайных величин т), .т. е. вектор (Re rj, Imr]) имеет
гауссовское распределение. Тогда в соответствии с п. 5 § 13 гл., Н
замьцсание Li (?) также состоит из гаус-
422
ГЛ VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
совских величин. Отсюда и из следствия 2 вытекает, что в случае
гауссовской последовательности | = (|я) действительные и мнимые части Zx
и Z2 независимы в том смысле, что любые наборы случайных величин (Z^Aj),
.... Zx (Aft)) и (Z2(A1), ..., Z2(Aft)) независимы между собой. Из (12)
следует также, что для непе-ресекающихся множеств А1( ..., А* случайные
величины Z.^Aj), .., ..., Z,-(А*) независимы в совокупности, t = 1, 2.
Следствие 4. Если | = (|я) - стационарная последовательность
действительных случайных величин, то (Р-п. н.)
Л Л
\п = J cosAr/Zj (dX) -f J sinAnZ2(dA). (16)
- Л Л
Замечание. Если {ZjJ, Ae[-я, я), -процесс с ортогональными приращениями,
соответствующий ортогональной стохастической мере Z = Z (А), то
спектральное представление (2) можно (в соответствии с § 2) записать
также в следующем виде:
Ъп= \ eiKndZK, ti<=z. (17)
- Л
Пусть | = (|я) -стационарная последовательность со спектральным
разложением (2), и пусть T]eL2(E). Следующая теорема описывает структуру
таких случайных величин.
Теорема 2. Если rieL2(i), то найдется такая функция Ф е L* (F), что (Р-п.
н.)
Л
т] = ^ 9(A)Z(dA). (18)
- Л
Доказательство. Если
2 a"lk, (19)
|А| ^П
то в силу (2)
Ч"= W 2 ake^\Z(dX), (20)
-я\|А|<я 1
т. е. (18) выполнено с функцией
<Р"(*)= 2 (21)
|А|<п
В общем случае, если ri eL2 (|), то найдутся такие величины ti" типа
(19), что Цт] - т]л|) -*• 0, п-+ со. Но тогда |ф" - фт1 =* *= Ил-Т1тВ -0,
п, т ->оо и, следовательно, последовательность {фл} фундаментальна в
L2{F) и, значит, найдется такая функция cpeL2(E), что |ф - Фя.1->0, п ->¦
со,
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 423
В соответствии со свойством (2.14) 1е7 (<ря) - (ф) |[ -0, и так как т]" =
<?/ (ф"), то т] = #(ф) (Р-п. н.).
Теорема доказана.
Замечание. Пусть Н0 (?) и Н0 (F) - замкнутые линейные многообразия,
порожденные величинами и функциями еп соответственно для пг^О. Тогда,
если т]G//0g), то найдется такая
Я
функция фе//0(Р), что (Р-п. н.) т]= § ф (к) Z (dk).
- Я
3. Формула (18) описывает структуру тех случайных величин, которые
получаются из Е", не Z, с помощью линейных преобразований, т. е. в виде
конечных сумм (19) и их пределов в среднеквадратическом смысле.
Частный, но важный класс таких линейных преобразований задается с помощью
так называемых (линейных) фильтроз. Предположим, что в момент времени т
на вход некоторой системы (фильтр) подается сигнал хт, при этом реакция
системы на этот сигнал такова, что на ее выходе в момент времени п
получается сигнал h(n - m)xm, где h = h(s), s е - некоторая
комплекснозначная функция, называемая импульсной переходной функцией
(фильтра).
Таким образом, суммарный сигнал уп на выходе системы представляется в
виде
СО
Уп= 2 h(n - пг) хт. (22)
fn-- СО
