Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для физически осуществимых систем значение выходного сигнала в момент
времени п определяется лишь "прошлыми" значениями входного сигнала, т. е.
значениями хт при т^п. Естественно поэтому фильтр с импульсной переходной
функцией h = = h (s) назвать физически осуществимым, если h(s) = 0 для
всех s<0, иначе говоря, если
п со
Уп= 2] h(n - m)xn=Yi h(m)Xn-m. (23)
т = - со т=0
Важной спектральной характеристикой фильтра с импульсной переходной
функцией h является ее преобразование Фурье
СО
ф (>¦) = 2] e~iXmh (т), (24)
tn =- оо
называемое частотной характеристикой фильтра.
Остановимся теперь на условиях сходимости рядов в (22) и
(24), о которых до сих пор ничего не говорилось. Предположим, что на вход
фильтра подается стационарная случайная последо-
424 гл VI СТАЦИОНАРНЫЕ случайные последовательности
вательность | = (|я), neZ, с ковариационной функцией R (п) и спектральным
разложением (2). Тогда, если
О0
2 h (k) R(k-l)h (/) < oo, (25)
k. I- - CO
00
то ряд 2 h (n - m) сходится в среднеквадратическом смысле
k = - СО
и, следовательно, определена стационарная послёдовательнссть Л = Ы с
со со
Лл= 2 h(n-m)lm= 2 h(rn)ln-m. (26)
m = - со т- - со
В спектральных терминах условие (25), очевидно, эквивалентно тому, что ф
(k)^L2(F), т. е.
Л
$ | ф (А) |2 F(dk) < со. (27)
- Л
При условии (25) или (27) из (26) и (2) находим спектральное разложение
последовательности тр
i1n= J e'^(X)Z(dX). (28)
- Л
Следовательно, ковариационная функция ^(п) последовательности т]
определяется формулой
tf"(n) = J с^|ф (A)|2F(dA). (29)
- Л
В частности, если на вход фильтра с частотной характеристикой Ф = ф (А)
подается белый шум е = (е"), то на его выходе будет получаться
стационарная последовательность (скользящего среднего)
СО
¦Пл= 2 Мт)ел-т (30)
т --со
со спектральной плотностью
Мя)= 2^1ф(Я) I2-
Следующая теорема показывает, что в определенном смысле всякая
стационарная последовательность со спектральной плотностью есть
последовательность, полученная с помощью скользящего среднего.
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 425
Теорема 3. Пусть г] = (т]л) - стационарная последовательность со
спектральной плотностью /,, (X). Тогда (быть может, за счет расширения
исходного вероятностного пространства) можно найти такую
последовательность е = (ея), являющуюся белым шумом, и такой фильтр, что
справедливо представление (30). Доказательство. По заданной
(неотрицательной) функции
Д, (Я) найдем такую функцию ср(А), что Д,(А.) = | ф (Я) |2. Поскольку
Я
$ /л (X) dX < схэ, то <p(A)eL2(p), где р -мера Лебега на [-л, я).
- Я
Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье (24) с h (т) =
Я
= 2я $ (Ч dX, причем сходимость понимается в том смысле,
- Я
что
я
S
- я
Пусть
т]л = J ^Кп1 (dX), п е Z.
- Л
Наряду с мерой Z = Z (Д) введем в рассмотрение не зависящую от неэ новую
ортогональную стохастическую меру Z = 1(A) с M|Z(a, b]|2 - = Ь^а .
(Возможность построения такой меры предполагает,
вообще говоря, что исходное вероятностное пространство является
дсстаточно "богатым".) Положим
Z (Д) = 5 ф(c) (X) Z (dX) + $ [ 1 - Ф(c) (X) ф (Я)] 1 (dX), д д
где
а'1, если аф 0,
0, если а = 0.
Стохастическая мера 1 = 1(6) является мерой с ортогональными значениями,
при этом для всякого Д = (а, Ъ]
М IZ (Д) I2 =
= ДГ 5 1 'Р(r)W |!21Т(Х) 12 dX + W ^1 - (Х) ф (Х) I2'dK = ¦Чг"-
д д
где j Д | = Ь - а. Поэтому стационарная последовательность е = = (e"),
neZ, с
е"= $ еЛп1 (dX)
- я
является белым шумом.
ф(Ч- 2 e~,Kmh (т)
dX-+ 0,
426 ГЛ. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Заметим теперь, что
^ eiXnq> (X) Z (dX) ~ § &nkZ (dX) = цп (31)
- Л - Я
и, с другой стороны, по свойству (2.14) (Р-п. н.)
Л Л / 00 \
^ ?in\ (X) Z (dX) = $ eiKni e~ikmh (m)j Z (dX) -
- Л - Л \m = - CO I
00 Л CO
= 2 h(<m) 5 eiK{n~m)Z (dX)= 2 h (m) e"_m,
m= - оо -л m = - oo
что вместе с (31) доказывает представление (30).
Теорема доказана.
Замечание. Если /п(Я);>0 (почти всюду по мере Лебега), то введение
вспомогательной меры Z - Z (Д) становится излишним (поскольку тогда 1 -
<p(c) (X) ф (Я) - 0 почти всюду по мере Лебега) и оговорка относительно
необходимости расширения исходного вероятностного пространства может быть
опущена.
Следствие 1. Пусть спектральная плотность /т)(Я)>0 (почти всюду по мере
Лебега) и
М*) = 2^!фМ I2,
где
со со
ф м = 2 (ф* 2 Iл W |2< °°-
4=0 4=0
Тогда последовательность т] допускает представление в виде
одностороннего' скользящего среднего
00
'Пп = ^ (r)п-ях*
/71 = 0
В частности, пусть Р(г) = а" + ахг + ... + арг^ - полином, не имеющий
нулей на множестве {г: |г| = 1}. Тогда последовательность т] = (т]") со
спектральной плотностью
представима в виде
Т]я = 0,Q&n -|- -|- , . . -|- Др8я_р.
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 427
Следствие 2. Пусть ? = (?") - стационарная последовательность с
рациональной спектральной плотностью
Р (е~а)
Q (<^л)
(32)
где Р (г) - а0 -f- a^z -f- apzp, Q (z) -¦ 1 -j- bxz bqzq.
Покажем, что если полиномы Р (z) и Q (z) не имеют нулей на множестве {г:
