Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 145

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 179 >> Следующая

оптимального линейного фильтра при отказе от предположений гауссовости.
Теорема 2. Пусть (0, ?) = (бл, Ел)л>о - частично наблюдаемая
последовательность, удовлетворяющая системе (13), где Еу (п)-
некоррелированные'случайныё величины с Меу(я)=0, Ms}j(n) - \, а
компоненпш вектора начальных значений (90, У имеют конечный второй
момент. Тогда оптимальная линейная сценка /лл = М (0Л | У • • • > Ел)
удовлетворяет уравнениям (7) с а0(п, Ъ) = а0{п) + аг(п)1п,^ А0(п, J) = А0
(п) + А2 (п) \п, а матрица ошибок ул = IV! [(0Л - тп) (б" - тл)*] -
уравнениям (8) с начальными данными
т0 = cov (0О, g0) °ov(r) (g0, Ео) - Ео, /j^\
Уо = cov (0О, 0О) cov (0О, Уcov(r) (У У cov* (0О, у.
Для доказательства этой теоремы понадобится следующая лемма, раскрывающая
роль гауссовского случая при отыскании оптимальных линейных оценок.
Лемма 2, Пусть (а, Р) - двумерный случайный вектор М (а2 + Р2) < оо, а
(а, р) - двумерный гауссовский вектор с теми же первыми и вторыми
моментами, что и у (а, Р), т, е.
Ма' = Ма', Мр1' = Мр', i = 1, 2, Мар = Мар.
Пусть Я (Ь) - линейная функция от Ь такая, что
Я ф) = М (а [ Р = b).
Тогда Я(Р) является оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной
оценкой а по р, т. е.
|9|(а|Р)=ЧР).
При этом МЯ(Р)=Ма.
Доказательство. Прежде всего отметим, что существование линейной функции
Я(Ь), совпадающей с Ма(|р=б), вытекает из теоремы о нормальной
корреляции. Далее, пусть Я (Ь) - какая-то другая линейная оценка. Тогда
М[5-Яф)]2=гМ[а-Я(р)]2 и в силу линейности оценок k(b) и Я (ft) и условий
леммы
М [а - Я (Р)]2 = М [а - Я (р)]2 Ss М [а - Я (р)]3 - М [а - Я (P)f,
§ 7 Фильтр калмана-бьюси и его обобщения 463
что и доказывает оптимальность А,ф) в классе линейных оценок. Наконец,
т (Р) = МЯ. (Р) = М [М (о ( Р)] = М а = Ма.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Наряду с (13) рассмотрим систему
(r)л-rl = #0 + а1^п + й'г|я "Т ^1 (ft + О + (ft +0" /J[j\
ln+i - + Ajin + Л2Ся + Bi^i (п + 1) + BzS2 (ft-\-1).
где gц (n) - независимые гауссовские случайные величины с Мёгу(п) = 0 и
Мё?/(п) = 1. Пусть также (б0, ?0) - гауссовский вектор, имеющий те же
первые моменты и ковариации, что и У ((r)о> ?о)> и не зависящий от ёц (п).
Тогда в силу линейности системы (13) вектор (б0,..., 0я, 10, ..., !я)
является гауссовским, и, значит, утверждение теоремы следует из леммы 2
(точнее, из ее очевидного многомерного аналога) и теоремы о нормальной
корреляции.
Теорема доказана.
3. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих теоремы 1 и 2.
Пример 1. Пусть 6 = (0") и т) = (ri") - две стационарные (в широком
смысле) некоррелированные случайные последовательности с М6" = Мця = 0 и
спектральными плотностями
/еМ= 2Я j 1+й1<г<*.|2 > М^) = 2я • j 1 + V'7rF '
где | &11 < 1, |М< 1.
В дальнейшем будем интерпретировать 0 как полезный сигнал, а ц -как шум и
предполагать, что наблюдению подлежит последовательность I = (!") с
1я ^ 0Л Т" Ля*
Согласно следствию 2 к теореме 3 из § 3 найдутся (некоррелированные между
собой) белые шумы ех == (ех (п)) и е2 = (е2 (п)) такие, что
бл+1 + ^10я = 6i (tt)> Цп+i + b2х\п - е2 (п).
Тогда
?л+1 = 0Л+1 4" Tln+l = - Мл - Ь2Г\п "Ь е1 (ft) "Ь е2 (ft) ="
= - b2 (0л + Лл) ~ 0л (bi - Ь2) + ех (п) + е2 {П) -
" - ^г|л - (&i - Ь2) 0Л -|- ех (п) е2 (л).
464 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Тем самым для 8 и | справедливы рекуррентные уравнения
(r)л+1 = - byftn-\-By(ti),
?и+1 - - (^1 - Ь2) 6Л - "Ь Б1 (^) "Ь е2 (п)
и, согласно теореме 2, m" = М (8" j |0 Е") и у" = М (0" - т")г
удовлетворяют следующей системе рекуррентных уравнений оптимальной
линейной фильтрации:
Mn+i = byтп -f-=-^я+1 ~ ^ П1п ~'L
.. __MV , 1 [i + M*i - *1)у-Л3 (17)
1 " ЬЛ " + 1 2 + (6^ГТ7--
Найдем начальные значения т0 и у9, при которых должна
решаться эта система. Обозначим du - МЭЯ, d}2 - Мд"1п, d22 =
МЕд.
Тогда из (16) находим, что
dn = bfdn -f-1,
dn = by (by - Ьг) du + Ьфгйn -f- 1,
d22 = (by - b2)2 dn -f- b\di2 -f- 2b2 (6, - bo) dn 4- 2,
откуда
d =_L_ d =-J- A 2 -6j -6|
11 1 - 6?' 12 1- &?'
что в силу (14) приводит к следующим значениям начальных данных:
rr J-** -
fno -J Ев- oZT/Ta'ITfts So.
22 Z Pj /,n.
^2 J ]__?2 J 1 °/
To = ~ ^ = -jTT&i - (l-Ь*) (2-6*-6*) = 2-b\ - bi'
Итак, оптимальная (в среднеквадратическом смысле) линейная оценка тп
сигнала 9" no t0> ,,., и среднеквадратическая ошибка уп определяются из
системы рекуррентных уравнений (17), решаемых при начальных условиях
(18). Отметим, что уравнение для у" не содержит случайных составляющих,
и, следовательно, величины уп, необходимые для отыскания значений тп,
могут быть рассчитаны заранее -до решения самой задачи фильтрации.
Пример 2. Этот пример поучителен с той точки зрения, что показывает, как
результат теоремы 2 может быть применен для отыскания оптимального
линейного фильтра в задаче, где последовательности (0, Е) подчиняются
(нелинейной) системе, не совпадающей с системой (13).
Пусть в1='(е1(п)) и е3 = (ег (п)) - две независимые гауссовские
последовательности, состоящие из независимых случайных величин с Мег(п) =
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed