Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(почти всюду по мере Лебега)
т=2^ i(r) (*-**¦) р.
Поэтому, полагая ф (А,) = Ф (e~iK), получаем
/(А)=^|Ф(А) |2,
где ф(А,) задается формулой (13). Тогда из следствия к теореме 3 § 3
вытекает, что последовательность ? допускает представление в виде
одностороннего скользящего среднего (11); где е = (е") - некоторая
ортонормированная последовательность. Отсюда и из замечания к теореме 2
следует, что последовательность ? регулярна. Итак, имеет место
Теорема 4 (Колмогоров). Пусть ? - невырожденная регулярная стационарная
последовательность. Тогда существует спектральная плотность / (А,) такая,
что
§ ln/(A,)dA,> - оо. (18)
-Я
В частности, / (А.) ;> 0 (почти всюду по мере Лебега).
§ 6 ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ и ФИЛЬТРАЦИЯ 445
Обратно, если ? - некоторая стационарная последовательность, имеющая
спектральную плотность, удовлетворяющую условию (18j, то эта
последовательность является регулярной.
5. Задачи.
1. Показать, что стационарная последовательность с дискретным спектром
(спектральная функция F (Я) - кусочно-постоянна) является сингулярной.
2. Пусть ai - М 11п - |л ,\ |л - М (?" | Н0 (?))• Показать, что если для
некоторого 1 о;, = 0, то последовательность ? является сингулярной; если
же при п-* оо ал->-/?(0), то - регулярной.
3. Показать, что стационарная последовательность | = (|л), 1п=е,пч>, где
ф - равномерная случайная величина на [С, 2л], является регулярной. Найти
оценку величину ал и показать, что нелинейная оценка
дает безошибочный прогноз по "прошлому" |° = (..., ?_г, ?0), т. е. М 11"
- |2 = 0, п^\.
§ 6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация
1. Экстраполяция. В соответствии с результатами предыдущего параграфа
сингулярные последовательности допускают безошибочный прогноз
(экстраполяцию) величин п^\, по "прошлому" |° = (..., |_А, |0).
Естественно поэтому при рассмотрении задач экстраполяции для произвольных
стационарных последовательностей изучить сначала случай регулярных
последовательностей.
Согласно теореме 2 из § 5 всякая регулярная последовательность |
= (?") допускает представление в виде одностороннего
скользящего среднего,
СО
1л = 2] (1)
А=0
оо
с 2 iй* 2 ^ 00 и некоторой обновляющей последовательностью
*N=0
е = (е"). Представление (1), как следует из § 5, решает задачу нахождения
оптимальной (Линейной) оценки |ь= 1Й(?"| H0(Q), поскольку, согласно
(5.8),
00
1/1 = &k&n-k (2)
k=rl
и
о? = М|?л-|л|2= П?|йа]2. *3)
А-О
446 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Однако это решение можно считать лишь принципиальным решением в силу
следующего обстоятельства.
Обычно рассматриваемые последовательности задаются не представлением (1),
а с помощью задания их ковариационной функции R(n) или спектральной
плотности f(K) (которая существует для регулярных последовательностей).
Поэтому решение (2) можно признать удовлетворительным, если коэффициенты
ак будут выражены через значения R (п) или f(X), а величины ек - через
значения %к.
Не затрагивая эту проблему в ее общем виде, ограничимся рассмотрением
одного частного (но интересного для приложений) случая, когда
спектральная плотность представляется в виде
/М = ^1фИР. (4)
00
где функция Ф(г)=2^*г* имеет радиус сходимости г> 1 и не
*=о
имеет нулей в области | г | ^ 1.
Пусть
1п=\мт (5)
-Я
- спектральное представление последовательности ? = (Ы> neZ.
Теорема 1. Если спектральная плотность последовательности ? представима в
виде (4), то оптимальная (линейная) оценка величины tn по |° = (.?_х,
?0) задается формулой
1л = $ Фл (X) Z (dX), (6)
- Я
где
фп(Х)=е'^ Фп (7)
' Ф(е~Л) v '
U
<?"(*)= |)bkz\
k-n
Доказательство. Согласно замечанию к теореме 2 § 3 всякая величина
|"е#0(|) допускает представление в виде
In = $ Фл (X) Z (dX), фл е #0 (F), (8)
- Я
где Н0 (F) - замкнутое линейное многообразие, порожденное функ-
§ 6. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ и ФИЛЬТРАЦИЯ 447
Поскольку
М||л-|л|а = М| ] (e*"-yn(X))Z(dX) |2 =
-Я
= J \e*"-%n(X)\*f(X)dX,
- Я
то доказательство оптимальности оценки (6) сводится к доказательству
того, что
^ inf . J Ie>** - фл (X) j2/(Я) dk=* J I_фя (Я)|"/(Я) dk. (9)
Флейв(П- л -л
Из теории гильбертовых пространств (§ 11 гл. II) следует, что оптимальная
(в смысле (9)) функция фл (Я) определяется двумя условиями:
1) фл(Я) e/f0(F), (10)
2) е^-фл(Я)±Я0(Т).
Поскольку
еЛпФп (e~i%) = е'7-"[Ьле~'?п-f- bn+ie~il(n+1) |,,.]еЯ0(F)
и аналогичным образом ~ф е H0(F), то функция фл(Я), определенная в (7),
принадлежит классу H0(F). Поэтому для доказательства оптимальности
функции фл (Я) достаточно лишь проверить, что для любого т^О
eiXл _ фл (Я) j_
т. е.
1п,т = 5 [е'7'л - Фл (Я)] е-,Хт/ (Я) dX - 0, m Ss 0.
"Я
Следующая цепочка равенств показывает, что это действительно так:
-я
я
1 dX -
= 2^Г j ei%(n~m'> [Ф (е-а) - Фл (е-/х)] Ф (е~^) dX -
-Я
Я / Л- 1 \ / СО ч
= ^ ('"-'*)( ^ bke-iXk j[2) bfim J ^Я ="
-я \*=о / v=o /
Я /Л -1 v / СО "
= i 2 &АеЯ(л~А)1(2 о"
448 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где последнее равенство следует из того, что для тз=0 и г^>1
