Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ширяев А.Н. -> "Вероятность" -> 138

Вероятность - Ширяев А.Н.

Ширяев А.Н. Вероятность — МГУ, 1957. — 581 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnost1957.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 179 >> Следующая

регулярной, если
и сингулярной, если
Замела ние. Сингулярные последовательности называют также
детерминированными, регулярные - чисто или вполне недетерминированными,
Если S (|) есть собственное подпространство пространства Я (t), то
последовательность с называют недетерминированной.
Теорема 1. Всякая стационарная в широком смысле случайная
последовательность \ допускает и притом единственное разложение
?л -?л"Ь?л" (1)
где сг = (|?) - регулярная, a Es = (|л) - сингулярная последовательности.
При этом и ?s ортогональны (|л J_ tsm для всех п и т). Доказательство. По
определению положим
Й-М(|Л/5Ш), & = ?"-&.
Поскольку ?л_1_5(?) для любого п, то 5 (|г) _1_ 5 (?). С другой стороны,
S (l,r) ? S (c), и, значит, S (Ъ,г) тривиально (содержит лишь случайные
величины, совпадающие почти наверное с нулем). Следовательно, процесс \Г
является регулярным.
Далее, Я" (?) = Ял (Is) (r) Ял (Г) и Ял(&') = Ял G), Нп(\г)<= s Ял (?).
Поэтому Нп G) = Ял (Is) (r) Ял (1Г), и, значит, для любого п
S(l)s=Hn(ls)(r)Hn(lr). (2)
Поскольку ?л_1_5(?), то из (2) следует, что
5 (g) <= На (Is),
и, значит, S(l)sS (Is) = Я(?s). Но (|), поэтому Я(gs) s
s 5 (g) и, следовательно,
s (Е) = S (?') = Я G'),
что означает сингулярность последовательности %s.
Ортогональность последовательностей g* и \г следует очевидным образом из
того, что |л е S (|), а |л 15 (g).
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА 439
Докажем теперь единственность разложения (1). Пусть = - т1п + 'Пп. где
Г)г и rf - регулярные и сингулярные ортогональные последовательности.
Тогда, поскольку Hn(r\s) = Н (rf), то
Hn{l) = Hn (rf) (r)Нп (if) = Нп (г]Г)(r)Н (rf),
и поэтому S (?) = S(if)(r)//(Tf). Но S (if) тривиально и, значит, ?(?) =
//(if).
Поскольку if (=//(if) = S(g), а if ±H(r\s) = S Ц), то М (?" | S (I)) = М
(rf + л" | S (I)) = if, т. е. совпадает с lsn, что и доказывает
единственность разложения (1).
Теорема доказана.
2. Определение 2. Пусть | = (?") - невырожденная стационарная
последовательность. Случайную последовательность е = (е") назовем
обновляющей последовательностью (для ?), если:
a) е = (ел) состоит из попарно ортогональных случайных величин с Ме" = 0,
М|е"|2=1;
b) Нп (?) = Нп (е) для любого я е Z.
Замечание, Смысл термина "обновление" обусловлен ассоциацией с тем, что
ел+1 как бы привносит новую "информацию", не содержащуюся в Нп (?) (иначе
- "обновляет информацию" в #л(|), которая необходима для образования Ял+1
(?).
Следующая важная теорема устанавливает связь между введенными выше
(пример 4 в § 1) последовательностями одностороннего скользящего среднего
и регулярными последовательностями.
Теорема 2. Для того чтобы невырожденная последовательность | была
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая обновляющая
последовательность е = (ел) и последователь-
ОО
теть комплексных чисел (а"), п^О, с ^ i ал I2 < °°> что (Р-п. н.)
п= О
00
in = 2 a^n-k- (3)
А=0
Доказательство. Необходимость. Представим #"(?) в виде
Ял(|)=Ял_1(^)0Дл(У,
где Вп (|л) есть пространство случайных величин вида • g", где р -
комплексные числа. Пространство Нп (?) не может совпадать с //"_! (I) ни
при одном п. В самом деле, если при каком-то п Вп (?л) тривиально, то в
силу стационарности тривиальными будут пространства В*(Ы ПРИ всех k, а,
значит, тогда H(Q=S(l), что противоречит предположению о регулярности
последовательности |. Итак, пространство Вп (|л) содержит заведомо хотя
оы один
440 ГЛ. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ненулевой элемент, скажем, г)л. Положим
- _ ТЬ
i Г
где || т)" ||2 = М | г)л |2 > 0.
Для фиксированных я и ^0 рассмотрим разложения
Ял (g) = Нл_* (g) (c) 5л-*ц (In-A+i) (c) ¦ • • (c) Вп (in)-
Тогда ел_л, ..., ел образуют ортонормированный базис в
Вп-к+1 (ёп-A+l) (c) • • • (c) Rn ((r)л) и
A-I
in " (c) ял_?^л), (4)
1=0
где aj = mn?n-j-
В силу неравенства Еесселя (II. 11.6)
СО
2 ! (c) I2 =s?l!inll2 < оо.
i=o
СО
Отсюда следует, что ряд "/ел_/ сходится в среднеквадратическом
1=0
смысле, и в силу (4) для доказательства (3) осталось лишь доказать, что
ял_* (g") - 0, &->оо.
Достаточно рассмотреть случай п - 0. Поскольку
А
Я-A = Я0 + 2] 1Я-1 - n-i+l]>
1=0
а слагаемые, участвующие в сумме, ортогональны, то для любого
к
У у Я_^ Я_;+1
2-
1=0
У (я_,- - я_ш)
1=0
Я-а - ЯоЦ2 =s? 4 II g0 II2 < оо.
Поэтому существует (в среднеквадратическом смысле) предел lim я_а. Для
каждого k я_А е H~k (g), и, значит, рассматриваемый
k -*-СО
предел должен принадлежать подпространству П Я_*(Е) = 5(g).
к>0^
Но по предположению S (g) тривиально, и поэтому я_а -^*0, &->оо.
Достаточность. Пусть невырожденная последовательность g допускает
представление в виде (3), где е = (ел) - некоторая орто-нормированная
система (не обязательно удовлетворяющая условию #n(g) = Яя(е), neZ).
Тогда Ял(c)?Ял(е) и, значит, 5(g) =
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛЬДА
441
= р| Hk (?) ^ Нп (е) для любого п. Но ел+1 _L Нп (е), поэтому
k
?л+1 -L 5 (?) и в то же самое время е = (ел) является базисом в Н (%).
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 179 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed