Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
и у".
Прежде всего заметим, что из (1) следует, что условное распределение
Р (0Я+1 "ST fli, gn+l A; J а/л, 6Л = Ь)
§ 7. ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЬЮСИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 439
является гауссовским с вектором средних значений
и матрицей ковариаций
I ь.ь ь.в\
Ю_\(?>о5)* В°В)'
где Ь-Ь = Ь1Ь*1 + Ьф1, = + В • В = B-.Bt + ВгВ1
Обозначим ?л = (6", In) и / = (+ ..., tkH). Тогда
М [ехр (t7*?"+1) | &F|, 0Л] =
= ехр jt7* (/С0 (л, i) + /Из. (", I) 6") - у /*1В(л, ?Н}- (3)
Допустим теперь, что утверждение леммы справедливо для некоторого п^О.
Тогда
М [ехр (tt'fa (п, \)Ъп)\Л]~
= ехр (it* йч (п, l)mn - ~t*{Rn(n, 1)уЯ f (п, \))t. (4)
Докажем, что формула (4) останется верной и при замене п на тг+1.
Из (3) и (4) имеем М [ехр (77*^)!^] = ехр {г7* (Л]0 (тг, Ю+ЛП", 1)тп) -
- ~t*B(n, ?)*--g+*(/b(". Б)V"/of (Л, юн}-
Поэтому условные распределения
Р(0я+1<а, U+(5)
являются гауссовскими.
Как и при доказательстве теоремы о нормальной корреляции (теорема 2 в §
13 гл. II), проверяется, что существует такая матрица С, что вектор
т] = [0я+1 - М (бл+11 Я1)\ - С [|л+1 - М (|я+11 f\)] обладает тем
свойством, что (Р-п. н.)
м h (?л+1 - м (ю+i I 1 Яп] = 0.
Отсюда следует, что условно-гауссовские векторы ц и ?л+1, рассматриваемые
при условии а^л, являются независимыми, т. е.
Р(ле Л, ?л+1еВ|аг1) = Р(г1еИ|аг1).р(и1еВ|аГ|) для любых /1ей(ДА), (R1).
400 ГЛ. VI. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Поэтому, если s = (s^ ..., sA), то М [ехр (is*dn+1) I aF*, ?"+1] =
- м [ехр (is* [М (еа+1 \Л) + Г) + С[*л+1 - М (5"+1 \^1п)}})\"Г(r), 5"н} --
ехр {is* [М (б"+11 ,F(r)) + С [g"+1 ~ М (5Я*| "F(r))]} X X М [ехр (is*ri) j
afl, сп+1] = exp {is* [M (9"+i j <Fl)] +
+ c [|nbl - M (En+i! J2"!)]} M (exp (i's*ri) [ aF(r)]* (6)
В силу (5) условное распределение Р (г) ^ у [ aF(r)) является
гауссовским. Вместе с (6) это доказывает, что условное распре-
деление Р (б"+1 -'Т а | aF(r)+t) также является гауссовским.
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть (0, (¦) - частично наблюдаемая последовательность,
удовлетворяющая системе (1). Тогда (тп, уп) подчиняются следующим
рекуррентным уравнениям:
m"+1 = [а0 + a^tn] + [b • В + агупАЦ [В * В + АхупАf](c) X
х[?я+1 А0 А^пi"], (7)
Yn+i = [aiynaf + b"b] - [b • В + аурлЛ ?] X
X [B • fi + • [ft. Б + а17яЛ?]*. (8)
Доказательство. Из (1)
M ((r)л+1 | aF(r)) = ао "Ь СЦГПп, М (^л+1 \ aF(r)) =** Л0 -f- (9)
И
0га+1 - М (бп+1 | aF(r)) = Й! [0" - АП"] -f- 61S1 (rt -f- 1) "Ь ^2^2 (Л +
1)* ^ jqj
fcn+l - М (in+l | aF(r)) =¦ Лх [0" - m"] -f- Z?i6i (п -f- 1) -f- В%В% (п -
f- 1).
Обозначим
dn - COV (0"+1, 0n+i I aF(r)) =
= M {[0,1+1. - М (0Л+11 aF(r))] [Ол+1 - м (0Л+11 f\)]*l<fn},
di^ - COV (0"+i, ^п+i [ a/2"!) =*
= M {[0Л+1 - м [0Л+1 i aF(r))] [gB+1 - M (Ui! aF*)]7aF&},
d%2 - COV (|л+1> Ел+l I aF(r)) =
= M {[g"+1 - M (?n+l ! aF(r))] [|"+1 - M (g"+l I "F*)]7aFS}. Тогда из (10)
(tm) "b be by di2 ^ "b b *^22 ^ "b ^ 00
§ 7. ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЫССИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 461
В силу теоремы о нормальной корреляции (см. теорему 2 задачу 4 в § 13 гл.
11)
тл+1 = М (бя+1 ] eFn, E"+i) - М (0я+1 ! а^л) + ^12^2 (|л+1 М (Ея+1 |
&^л)) И
Ул+1 = COV (бя+Ь Ел+l) = dn - di2d?idii.
Подставляя сюда выражения для М (о"+11 aF"), М (E"+i! <^1) из (9) и для
dn, d12, d22 из (11) получаем искомые рекуррентные уравнения (7) и (8).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если все коэффициенты а0(п, Е), ..., В"(п, Е) в системе (1)
не зависят от Е> то соответствующая схема называется схемой Калмана -
Бьюси, а уравнения (7) и (8) для тп и у" - фильтром Калмана - Бьюси.
Важно подчеркнуть, что в этом случае условная матрица ошибок уп совпадает
с безусловной, т. е.
у" ее My= М [(0" - тп) (0" - тп)*].
Следствие 2. Предположим, что частично наблюдаемая последовательность
(0Л, Ея) такова, что для б" справедливо первое из уравнений в (1), а для
-уравнение
Ея = (п-Е \)-\-Лх(п-\, Е)6я~Ь
-\-Вх(п-1, Е) Si (/?) + В2 (п - 1, | )е2("). (12)
Тогда, очевидно,
|л+1 = ^о(п, ?)-МЖ ЕЖ (". l) + ai(n, Е)0" +
Л~Ьх(п, Е) ei (а + 1) ~Ь Ь2 (п, Е) (п -f- 1)] -Т Bi (п, Е) ei (я
+ 1) + .
-\-В2{п, Е) (r)2 (^i "Ь 1 )>
и, обозначая
710 = Ац -f- Лхй0, Ах -A\G\,
Bl = A\bi-\-Bu В2 - Aib-i -j- Вг,
получаем, что рассматриваемый случай также укладывается в схему (1), а тп
и уп удовлетворяют уравнениям (7) и (8).
2. Обратимся к линейной схеме (ср. с (1))
0я+1 - ао Т- ai0Я йгЕп bxEi (п -f-1) -Ь Ь2е2 (п -f-1), . "
Ел+1 ~ Т" Л16/1 + ^гЕл ~Ь ^181 (п + 1) ~Ь ВгЪ2 (п -f- 1),
где все коэффициенты а0, ..., В2 могут зависеть от п (но не от Е), а
еij(n) - независимые гауссовские случайные величины с Ме,у (п) = 0 И Me?/
(п) = 1.
Пусть система (13) решается при начальных значениях (0О, Ео) таких, что
условное распределение Р(0о^а|Е0) является гауссовским с параметрами т0 =
М (б01 Е0) и у0 = °ov (д0, д0 J Ео) = Му0.
462 ГЛ. VI СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Тогда в силу теоремы о нормальной корреляции и (7), (8) оптимальная
оценка тл = М(ол| aFl) является линейной функцией от §0" El" • * • " Ел*
Это замечание позволяет доказать следующее важное утверждение о структуре
